高三数学（理科）试题第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）UR24Ax1BxUCABA B C D2x121x12.已知复数 （ 为虚数单位） ，则复数 的共轭复数 在复平面上所对应的点位于2izzz（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）0 1N， 1Pp10PA B C D12p1p224.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） xy， 104xy13yzxA B C. D14233225.已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）ab1abbaA1 B C. D776.“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的（ ）0afxax0 ，A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）SA2017 B2 C. D1218.要得到函数 的图象， 只需将函数 的图象（ cos3fxsin23gx）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位 24C.向右平移 个单位 D向右平移 个单位9.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线所围成21:0 xyCabb， 2:4Cyx的三角形的面积为 2，则双曲线 的离心率为（ ）1CA B C. D523510.已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）21 1xf x， ， 2xgf第卷（共 100 分）二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到的数据如下表：收入 （万x元）8.28.610.1.31.9支出 （万y元）6.7.58.8.5.8根据上表可得回归直线方程 ，其中 ， ，据此估计，该社区一户ybxa0.76baybx年收入为 15 万元家庭的年支出为 万元12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 13.若 的展开式中常数项是 60，则实数 62ax a14.已知直线 经过圆 的圆心，则 的最80 0byab， 240xy1ab小值为 15.设函数 ，则不等式 的解集是 sinfx1lnl2fxff三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .ABC BC， ， abc， ， sin3coaCA（）求 ；（）若 ，求 的周长的取值范围.6aA17.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 ， 且 .CBDEFCBDACBDE 2A（）求证： 平面 ；EF ABC（）已知 ，求平面 与平面 所成的角（锐角）的大小.2ABCDECDAB18.（本小题满分 12 分）某小组共 7 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为2，2，3，现从这 7 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.（）设 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 发生的概率；A A（）设 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学X X期望.19.（本小题满分 12 分）已知等差数列 中， ，且 .na12614a（）求数列 的通项公式；（）设数列 满足： ，求数列 的前 项和 .nb 2312 1nbanbnT20.（本小题满分 13 分）已知函数 .221lnfxaxx（）讨论函数 的单调性；yf（）对任意的 ， ，恒有 ，1 2a， 1212 xx， ， 1212fxfx求正实数 的取值范围.21.（本小题满分 14 分）已知 ， ， 成等差数列，记 对应点的轨迹是 .26xy326xy xy， C（）求轨迹 的方程；C（）若直线 与曲线 交于不同的两点 ， ，与圆 相切于点 .:lykxmCAB21xyM（i）证明： （ 为坐标原点） ；OAB（ii）设 ，求实数 的取值范围.M高三数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5:CADCC 6-10:ADBDD二、填空题11. 12. 13. 14.1 15.1.812440 e，三、解答题16.解：（）因为 ，sin3coaCA由正弦定理得， ，1 分sinic即 .2 分sin3coA所以 ， ，43sinbB43sincC又 ，6 分2CA所以 43sinbc7 分2iB8 分34sincos2.9 分12sin6B因为 ，03所以 ，10 分566所以 ，12sin12B即 （当 时，等号成立）.11 分bc3所以 的周长的取值范围是 .12 分AC 12 8，法二：由已知得 ， ， .5 分0bc6bca由余弦定理得6 分236cos37 分b.8 分22214ccbc当且仅当 时，等号成立9 分b所以 ，236c所以 ，10 分1又 ，bc所以 ，11 分62所以 的周长的取值范围为 .12 分ABC 12 8，17.解：（）证明：取 的中点 ，连接 ， .1 分BMFA又 为 的中点，FD所以 ，且 .2 分M 2F又因为 ，且 ，AEB AE所以 ，且 ，3 分F M所以四边形 为平行四边形.所以 .4 分EA又 平面 ， 平面 ，MBCEFABC所以 平面 .5 分F（）解法一：如图，在平面 内过点 作 ，ABCBPA以点 为原点，分别以直线 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的BBAPDxyz空间直角坐标系，则 ， ， ， ，0 ， ， 0 2D， ， 1 3 0C， ， 2 1E， ，所以 ， .6 分2 1E， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则C nxyz， ，所以 ，7 分nD0所以 ，8 分230xzy令 ，则 ， ，12z即 .9 分 3 n， ，又因为 平面 ，BDAC所以 是平面 的一个法向量.10 分0 2， ， B所以 .11 分42cos 8nBD，所以平面 与平面 所成的角（锐角）的大小为 .12 分ECA4解法二：如图，延长 交 的延长线于 ，连结 ，DEBAMC由题意知，平面 平面 ，6 分CAB因为 ，且 ，所以 ， 2E12又因为 ，AB所以 ，12CM所以 ，即 .8 分CB又 平面 ，且 平面 ，BDAA所以 ，C又 平面 ， 平面 ， ，BCDB所以 平面 ，9 分M又 平面 ，所以 ，10 分CDM所以 就是所求的平面 与平面 所成的角（锐角）的平面角.11 分BEAB因为 ，且 ，所以 .2BDC4D所以平面 与平面 所成的角（锐角）的大小为 .12 分ECA18.解：（）由已知，有 .4 分1237PC所以，事件 发生的概率为 .5 分A（）随机变量 的所有可能取值为 0，1，2.6 分X，7 分2237501CPX，8 分1213709 分12376CPX所以，随机变量 的分布列为0 1 2P521027随机变量 的数学期望 12 分X0171EX19.解：（）设数列 的公差为 ，nad因为 ，2614a所以， ，1 分1d又 ，a所以 2 分2d所以数列 的通项公式为 3 分n21na（）由（）知 2312nb所以，当 时， ，即 4 分n15当 时， 5 分22312 1nbn式减去式，得 1n所以 6 分21nb又 也符合上式，16所以 7 分2nnb所以 ，123135722nnT所以 ，8 分234 157212nnnT 式减去式，得9 分23 16nnn 10 分112n11 分12n所以 12 分2nT20.解：（）函数 的定义域为 ，fx0，1 分22112axafx由 ，得 或 0x（1）当 ，即 时，21a12a由 得 ， 得 ，0fx0fx1x函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减2 分f1， 0，（2）当 ，即 时，0a02a由 得 ，或 ，由 得 ，fx1xx0fx21ax函数 在区间 和 上分别单调递增，在区间 上单调递f0a， ， 21a，减3 分（3）当 即 时， 在 上恒成立，21a0fx，函数 在区间 上单调递增4 分fx0，（4）当 ，即 时，21aa由 得 ，或 ，由 得 ，fxx21