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扬州市 2015 届高三上学期期末考试试题数学一、填空题 (70 分)1、集合 A1,0,2,Bxx1,则 A B2、已知 i 是虚数单位,则 的实部为21()i3、命题 P:“ ”,命题 P 的否定:,30R4、在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回) ,两人都中奖的概率为5、如图是一个算法流程图,输出的结果为6、已知样本 6,7 ,8,9,m 的平均数是 8,则标准差是7、实数 x,y 满足 ,则 的最小值为2401y2zxy8、已知 ,则 (0,)cos5tan()49、已知双曲线 C: 的一条渐近线与直线 l: 0 垂直,且210,xyba3xyC 的一个焦点到 l 的距离为 2,则 C 的标准方程为10、设函数 ,若 f(x )的值域为 R,是实数 a 的取值范围是,()xf11、已知 A( )是单位圆(圆心为坐标极点 O,半径为 1)上任一点,将射线 OA 绕点,yO 逆时针旋转 到 OB 交单位圆于点 B( ) ,已知 m0,若 的最大值为 3,3,y2ABy则 m12、设实数 x,y 满足 x22xy10,则 x2y 2 的最小值是13、设数列 的前 n 项和为 Sn,且 ,若对任意 ,都有a14()nna*nN,则实数 p 的取值范围是1(4)3npS14、已知 A(0,1) ,曲线 C:ylog ax 恒过点 B,若 P 是曲线 C 上的动点,且的最小值为 2,则 aBP学 科 网二、解答题(90 分)15、 ( 14 分)已知函数 部分图象如图所示。()sin()0,)2fA(1 )求函数 f(x)的解析式;(2 )当 时,求函数 的值域。5,2(1)(yfxf16、 ( 14 分)在三棱锥 PABC 中,D 为 AB 的中点。(1 )与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E,判断点 E 在 AC 上的位置并说明理由如下:(2 )若 PAPB,且PCD 为锐角三角形,又平面 PCD平面 ABC,求证:ABPC。17、 ( 15 分)如图, A,B,C 是椭圆 M: 上的三点,其中点 A 是椭圆21(0)xyab的右顶点,BC 过椭圆 M 的中心,且满足 ACBC,BC2AC。(1 )求椭圆的离心率;(2 )若 y 轴被ABC 的外接圆所截得弦长为 9,求椭圆方程。18、 ( 15 分)如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30 方向的两条街道,某公园 P位于商业中心北偏东 角( ) ,且与商业中心 O 的距离为 公里处,0tan32 , 21现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处。(1 )当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A,B 两处的距离和;(2 )若要使商业中心 O 到 A,B 两处的距离和最短,请确定 A,B 的最佳位置。19、 ( 16 分)已知数列 中, ,且 对任意正整数都成立,na12,a12()nnka数列 的前 n 项和为 Sn。a(1)若 ,且 ,求 a;2k2015S(2)是否存在实数 k,使数列 是公比不为 1 的等比数列,且任意相邻三项n按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有 k 值,若不存在,请说明理由;1,ma(3)若 。,2nkS求20、 ( 16 分)已知函数 。2(),()xfegabxc(1 )若 f(x)的图象与 g( x)的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求 b 和 c 的值。(2 )若 ac1,b0 ,试比较 f(x)与 g(x)的大小,并说明理由;(3 )若 bc0,证明:对任意给定的正数 a,总存在正数 m,使得当 x 时,(,)恒有 f( x)g(x)成立。数 学 试 题(附加题)(考试时间:30 分钟 总分:40 分)21.A (本小题满分 10 分,矩阵与变换)在平面直角坐标系 xoy 中,设曲线 C1在矩阵 A对应的变换作用下得到曲线 C2: ,求曲线 C1的方程。102 24xyB (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负2cos()4半轴建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ,求曲线 C1 与曲线 C2 交点的直2cosinxy角坐标。必做题第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.( (本小题满分 10 分)射击测试有两种方案,方案 1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案 2:始终在乙靶射击,某射手命中甲靶的概率为 ,命中一次得 3 分;命中乙靶23的概率为 ,命中一次得 2 分,若没有命中则得 0 分,用随机变量 表示该射手一次测试累34 计得分,如果 的值不低于 3 分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次测试最多打靶 3 次,每次射击的结果相互独立。(1)如果该射手选择方案 1,求其测试结束后所得部分 的分布列和数学期望 E ;(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由。23.( (本小题满分 10 分) 对于给定的大于 1 的正整数 n,设 ,其中201nxana , ,且 ,记满足条件的所有 x 的和为 。ia0,2, ,2,i An(1 )求 A2(2 )设 ;,求 f(n)n()(fA扬州市 20142015 学年度第一学期期末调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1. 2 3. , 4. 5. 1501Rx032x16. 7. -2 8. 9. 10. 17214xy12, ,11. 12. 13. 14. 65122,3e14.解:点 , ,设 ,则(0,1)A(,)B(,log)aPxlog11aBPx依题 在 上有最小值 2 且 ,故 是 的极值点,()f(0,)()f1x()f即最小值点,若 , , 单调增,在 无最小1ln()lxafx1()0fx()f(0,)值;故 ,a设 ,则 ,当 时, ,当 时,()0flogae(0,log)axe()f(log,)axe,x从而当且仅当 时, 取最小值,所以 , lae()fxl1ae15 由图, ,得 , ,则 , 21,43TA4T2()2sin()6fxx3 分由 ,得 ,所以 , ()sin()fsin()13()3kZ又 ,得 ,所以 ; 7 分02626fxx , (1)(si()cos()2sin()12yfxf x10 分因为 ,故 ,则 ,即5,276216x1i(),()fx所以函数 的值域为 14 分()(yffx2,16 解: 为 中点理由如下:EAC PABCDE平面 交 于 ,即平面 平面 , PDEACPDEABCE而 平面 , 平面 ,所以 , 4 分/BB/在 中,因为 为 的中点,所以 为 中点; 7 分证:因为 , 为 的中点,所以 ,因为平面 平面 ,平面 平面 ,D在锐角 所在平面内作 于 ,则 平面 ,10 分PCDPOCDPOABC因为 平面 ,所以ABAB又 , 平面 ,则 平面 ,O, 又 平面 ,所以 14 分 17.解因为 过椭圆 的中心,所以 ,CM2CO又 ,所以 是以角 为直角的等腰直角三角形, ,2ABA3 分则 ,所以 ,则 ,10(,0),)(,)22aaBa22()1ab23b所以 ; 7 分6,3cbe 的外接圆圆心为 中点 ,半径为 ,ABCAB(,)4aP104a则 的外接圆为: 225()8xy10 分令 , 或 ,所以 ,得 ,0x54ay()94a6a(也可以由垂径定理得 得 )210()所以所求的椭圆方程为 15 分236xy18 以 O 为原点,OA 所在直线为 轴建立坐标系设 ,x(,)Pmn , , ,02tan37cos14321si4PBCDOy xPBOA则 , , 4 分9sin2mOP 3cos2OP依题意,ABOA,则 OA= ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km 方法 1:当 AB 与 轴不垂直时,设 AB: ,x39()2ykx令 ,得 ;由题意,直线 OB 的方程为 ,0y392Ak3yx解联立的方程组,得 , ,3()Bx29BBkO ,由 , ,得 ,或 3923kyOA0AxB3011 分,令 ,得 ,2228()(5)(3)kyk y3k当 时, , 是减函数;当 时, , 是增函数,0y30ky当 时, 有极小值为 9km;当 时, , 是减函数,结合知3kykm1.5y综上所述,商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km,OB=3km,方法 2:如图,过 P 作 PM/OA 交 OB 于 M,PN /OB 交 OA 于 N,设BAO= ,OPN 中 ,得 PN=1,ON=4=PM,sin(90)sin(30)sin12NOPPNA 中NPA=120- 得ii()Asin(120)N同理在PMB 中, ,得 ,sini(120)BMP4is()MB, 13()4sin1259iyOA分当且仅当 即 即 时取等sin(120)4sin(120)si(0)sin 3ta号NMP北BO A方法 3:若设点 ,则 AB: ,得 ,(,3)Bm392yxm4(,0)21A , 44219OA13 分当且仅当 即 时取等号1m32方法 4:设 ,AB : ,得 ,(,0)An09yxn214B, 42()59BOxnn13 分当且仅当 即 时取等号4n6答:A 选地址离商业中心 6km,B 离商业中心 3km 为最佳位置 15 分19 时, , ,所以数列 是等差数列, 12k12()nnaa21nnana1 分此时首项 ,公差 ,数列 的前 项
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