20062007 学年度北京市朝阳区高三第一次统一考试数 学 试 题（文科）2007.4（考试时间 120 分钟，满分 150 分）第卷（选择题，共 40 分）1设集合 U = R，集合 M = x| x 0, N = x | x2 x，则下列关系中正确的是 （ ）A BNMC D)(1 NC)(12在ABC 中，sin 2A = sin 2B 是 A = B 的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知 a、b 是两条不重合的直线，、 是两个不重合的平面，给出四个命题：ab，b，则 a；a、 ，a，b，则 ；a 与 成 30的角，ab，则 b 与 成 60的角；a，b，则 ab.其中正确命题的个数是 （ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个4已知数列a n的前 n 项为 Sn，S 3 = 3，S 6 = 27，则此等比数列的公比 q 等于 （ ）A2 B 2 C D2125从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师，派往郊区 3 所学校支教，每校 1 人.要求这 3 位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A210 种 B 186 种 C180 种 D90 种6已知函数 ，则 的反函数是 （ 0,24)(2xxf )(xf）A B,)(21f 0,24)(21xfC D04xx x7已知椭圆的焦点是 F1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，过点 F2 向F 1PF2 的外角平分线作垂线，垂足为 M，则点 M 的轨迹是 （ ）A圆 B椭圆 C直线 D双曲线的一支8已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为 m 个，则从存储器中取出 n 个数据后，此存储器中的数据个数为 mn 个；若存储器中原有数据为 m个，则将 n 个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为 m + n 个.现已知计算机中 A、B、C 三个存储器中的数据个数均为 0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于 2 的数据；第二次运算：从 A 存储器中取出 2 个数据，将这 2 个数据存入 B 存储器中；第三次运算：从 C 存储器中取出 1 个数据，将这 1 个数据存入 B 存储器中；第四次运算：从 B 存储器中取出 A 存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入 A存储器，则这时存储器中的数据个数是 （ ）A8 B 7 C6 D5第卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填在题中横线上.9某市三所学校共有高中学生 8000 人，其中 A 校 2520 人；B 校 3280 人；C 校 2200 人.现在采用分层抽样方法从所有学生中抽取 200 人进行心理测试.上述三所学校分别应该抽取 人.10若(1ax) 6 的展开式中 x4 的系数是 240，则实数 a 的值是 .11圆 x2 + y2 + 4x2y + 4 = 0 上的点到直线 xy 1 = 0 的最大距离与最小距离的差为 .12已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是 ，5切点到二面角棱的距离是 1，则球的表面积是 ，球的体积是 .13已知向量 a =(2,3)， ，且 ab，则|a| = ，b 的坐标是 .32|b14已知函数 且不等式 的解集 .),1(|)(xxf 1)(xf三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分 13 分）已知向量 ，函数)cos,(),sin(coxbxa .12)(baxf（）求函数 f(x)的最小正周期；（）当 时，求 f(x)的单调减区间.2,016（本小题满分 13 分）甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为 0.6，乙队获得的概率为 0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出.20070410 （）求甲队以二比一获胜的概率；（）求乙队获胜的概率；17（本小题满分 13 分）如图，棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E、F 分别是棱 AD、CD 的中点，O 是点A 在平面 BCD 内的射影.（）求直线 EF 与直线 BC 所成角的大小；（）求点 O 到平面 ACD 的距离；（）求二面角 EBEF 的大小.18（本小题满分 13 分）已知函数 处有极值， 处的切线 l 不1)(23xcbaxf 在 2)(xf在过第四象限且倾斜角为 ，坐标原点到切线 l 的距离为4.2（）求 a、b、c 的值；（）求函数 上的最大值和最小值.23,1)(在 区 间xfy19（本小题满分 14 分）已知数列a n的前 n 项为和 Sn，点 在直线 上.数列b n满足),(n21xy，前 9 项和为 153.1),(023*1 bNbbnn 且（）求数列a n、b n的通项公式；（）设 ，数列c n的前 n 和为 Tn，求使不等式 对一)2(nnac 57kTn20070410切 都成立的最大正整数 k 的值.*Nn20（本小题满分 14 分）已知双曲线的中心在原点 O，右焦点为 F（c，0 ），P 是双曲线右支上一点，且OEP 的面积为 .26（）若点 P 的坐标为 ，求此双曲线的离心率；)3,(（）若 ，当 取得最小值时，求此双曲线的方程.216cFO |OP参考答案一、选择题1D 2B 3D 4A 5C 6B 7A 8D二、填空题963，82，55 102 112 1216， 3213 ，（4，6）或（4，6） 143,0,三、解答题15解：（）因为 12)(baxf1)cos,()sin,coxx 2 分1)cosincos(2xx124 分ssi6 分)4n(x所以 的最小正周期是 7 分)(xf .2T（）依条件得 9 分).(32Zkxk解得 11 分).(8783Zk又 .815,0 xxx所 以即当 时，f(x )的单调减区间是 13 分2 .,7,316解：（）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜 1 场，第三场甲获胜，其概率为6 分.2806.4.012CP（）乙队以 2：0 获胜的概率为 ；6.04P乙队以 2：1 获胜的概率为 192.12C乙队获胜的概率为 8 分352.0.4.2 （）若三场两胜，则甲获胜的概率648.02.36.0.60.123 CP或 ;4835若五场三胜，则甲获胜的概率6.04.6.0.6.0 224233 C12 分8573591，3P采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大. 13 分17方法一：（）因为 E、F 分别是棱 AD、CD 的中点，所以 EFAC.所以BCA 是 EF 与 BC 所成角. 2 分正四面体 ABCD，ABC 为正三角形，所以BCA = 60.即 EF 与 BC 所成角的大小是 60 3 分 （）解法 1：如图，连结 AO，AF，因为 F 是 CD 的中点，且ACD， BCD 均为正三角形，所以 BFCD，AF CD.因为 BFAF = F，所以 CD面 AFB. 4 分因为 CD 在 ACD，所以面 AFB面 ACD. 5 分因为 ABCD 是正四面体，且 O 是点 A 在面 BCD 内的射影，所以点 O 必在正三角形 BCD 的中线 BF 上，在面 ABF 中，过 O 做 OGAF，垂足为 G，所以 OG在 ACD.即 OG 的长为点 O 到面 ACD 的距离.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,在ABF 中,容易求出 AF = BF= ，OF= ，AO = ，2363因为AOF OGF，故由相似比易求出 OG = .96所以点 O 到平面 ACD 的距离是 8 分.解法 2：如图，连结 AO，CO，DO，所以点 O 到平面 ACD 的距离就是三棱锥OACD 底面 ACD 上的高 h.与解法 1 同理容易求出 OF= ，AO = ，4 分63所以 VACOD = .2)12(3因为 VOACD = VACOD， 5 分所以 = VOACD = 6 分62).3(h解得 8 分.9h（）连结 OD，设 OD 的中点为 K，连 EK，则 EKAO.因为 AO面 BCD,所以 EK面 BCD.在平在 BCD 内,过点 K 作 KNCD,KN 交 BF于 M,交 BC 于 N,因为 BFCD,所以 KNBF.连结 EM,所以 EMBF.所以NME 是所求二面角的平面角. 10 分因为 EK = CH = ，2163MK = ED = AD = ，4所以 .32tanMKFE所以 .6)tan(t EN所以所求二面角的大小为 13 分.32rcta方法二：如图，以点 A 在面 BCD 的射影 O 为坐标原点，有向直线 OA 为 z 轴，有向直线 BF 为 y 轴，x 轴为过点O 与 DC 平行的有向直线.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1，所以可以求出各点的坐标依次为：O（0,0,0），A（0,0, ），B（0, ,0）363C（ ），D（ ），0,6210,21E（ ），F（ ）,34,63（）因为 )0,231(),12(BC又 ，1|,2|1|,48634 BCAEFBCEF且所以 .214,cosBCEF所以 EF 与 BC 所成角的大小是 60. 3 分（）因为 ，)63,21(),63,21( ADA设平面 ACD 的一个法向量为 ，,1zyxFC由 ).2,0(,0,0 ADADACDF解 得因为 ，3|,),63,(ACACFO所以点 O 到平面 ACD 的距离等于 8 分.962| ACDd（）因为 ，)0,63(),6,341(OFEF设平面 BEF 的一个法向量为 ，,2zyxBE由 ，0,0FBEF可得平面 BEF 的一个法向量 10 分)3,6(BE容易得到平面 BDF 的一个法向量 .1CF因为 ，|,|,3 BBEBCFE所以