北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类） 2011.11（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分注意事项：1答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2第一部分每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第二部分不能答在试题卷上，请答在答题卡上.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合 260Mx， 13Nx， 则 MN等于（ ）A 1, B , C 2, D 2,32. 已知向量 a， b满足| | = 8，| b| = 6， a = 4，则 a与 b的夹角为（ ）A 30 B 0 C 90 D 103. 已知函数 ()2sin()fx(,)的图象如图所示，则 等于( ) A 13 B 1 C D4.已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 36915a，则 1S等于（ ）A 78B 6C D 3 5.命题“ ,si1xR”的否定是（ ）A n B ,sin1xRC ,six D 6. 函数 fl)(的零点所在的大致区间为（ ）A 0,1 B 1,2 C 1,e D 2,e7. “ 1a”是“对任意的正数 x，不等式 21ax成立”的 （ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8.设集合 0123,SA，在 S上定义运算 ： ijkA，其中 为 ij被 4 除的余数， ,ij，则使关系式 0()iij成立的有序数对 (,)的组数为（ ）A 4 B 3 C 2 D 1第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.9.已知 3(,)sin,2则 ta= . 10.已知等比数列 a各项均为正数,前 n项和为 nS，若 2a， 156，则 3a= ； 5S11. 在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,bc若 ,2bc，则 cos= .12. 在 中，已知 (2,1)AB， (3,)CkR，则 BC=_；若 90，则k=_ _13.已知函数2,0,()cos.xf若方程 ()fxa有解，则实数 a的取值范围是 14.设函数 1f（ Q）的定义域为 ,b，其中 0b，且()fx在 ,ab上的最大值为 6，最小值为 3，则 ()fx在 a上的最大值与最小值的和为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13 分）设集合 |(1)0,MxaR,集合 2|30Nx.（）当 时，求 N；（）若 ,求实数 的取值范围.16. （本小题满分 13 分）已知向量 a=(sin,co()x， b=(2cos,)x，函数 ()1fxab+.（）求 )4f的值；（）求 (fx在 0,2上的最大值和最小值，并求出相应的 x的值.17. （本小题满分 13 分）在 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc,且 3os4B（）求 2sini的值；（）若 3b，当 ac取最大值时，求 AC的面积.18.（本小题满分 13 分）在递增数列 n中， nS表示数列 na的前 项和， 1a， 1nac（ 为常数，nN） ，且 123,成等比数列. （）求 c 的值;（）若 ()nnba， *N，求 242nb .19.（本小题满分 14 分） 设函数221()xfa， R.（）若 ,，关于 x的不等式24()afx恒成立，试求 a的取值范围；（）若函数 ()fx在区间 0,4上恰有一个零点，试求 的取值范围.20. （本小题满分 14 分）已知函数 21()ln()fxax（ aR且 0）.（）求函数 的单调区间；（） 记函数 ()yFx的图象为曲线 C.设点 1(,)Axy, 2()B是曲线 C上的不同两点，如果在曲线 C上存在点 0(,)My，使得： 0；曲线 在 M处的切线平行于直线 AB，则称函数 x存在“中值相依切线”. 试问：函数 ()fx是否存在“中值相依切线” ，请说明理由.北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类）答案 2011.11一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A B C D D A B A二、填空题： 题号 （9）（10）（11） （ 12） （13）（14）答案34；145(1,)k； 2,45或 9注：若有两空，则第一个空 3 分，第二个空 2 分.三、解答题：（15 ） （本小题满分 13 分）解：（）当 1a时,不等式化为 ()0x，则 |02Mx.又 3Nx，因此 13N. 6 分（）若 , |,Mx若 ,则有 1a，解得 21a. 8 分若 , ,|3Nx,此时 MN成立; 10 分若 1a, |01|3ax,若 ,则有 013a,解得 2. 12 分综上, 的取值范围是 ,. 13 分（16 ） （本小题满分 13 分）解：（） ()1fxab= 22sincos1xx= incos2x， 4 分则 4. 6 分 （） ()fx=sin2cosx= 2in()4. 7 分因为 0,，所以 3,. 9 分则当 24x时，即 8x时， ()fx的最大值是 2； 11 分当 时，即 0时， 的最小值是 1. 13 分（17 ） （本小题满分 13 分）解：（）因为 3cos4B，所以 7sin4B. 1 分则 21sini()2icos2= 18+ 7324=18.5 分（）由已知得 3cos4acbB， 7 分又因为 3b， 所以， 2ac. 8 分又因为 2ac，所以 6，当且仅当 6ac时， c取得最大值. 11 分此时 173sin24ABCS.所以当 ac取最大值时， ABC的面积为 . 13 分（18 ） （本小题满分 13 分）解：（） 11,nc为常数， 所以 1().nac则 23,()2)3.aSc 3 分又 1,成等比数列，所以 ，解得 或 2.由于 n是递增数列，舍去 ,故 . 6 分（）由（）得 1， *nN.所以 2()3nnb， 221()(4)3nb. 8 分从而 242nb 1()(341)92n21()n， *N. 13 分（19 ） （本小题满分 14 分）解：（） 依题得: 2,x，不等式 23xa恒成立,则 32x.2 分设 3()g,则 min()ag即可. 3 分又 ()23xx，当且仅当 3x时,min()(3)gx.所以 a的取值范围是 (,. 6 分（）二次函数 )fx的图象开口向上，对称轴是直线 xa. 7 分依题意得：当 2a时，只需满足 (0),4f即210,85解得 1, 10 分当 时满足题意， 1时不满足题意，则 a . 11 分 当 2a时，只需满足 (0),4f即210,85a解得 35. 12 分当 5时满足题意， 3a时不满足题意，则 . 13 分综上所述, 的取值范围是 1,)(,. 14 分（20 ） （本小题满分 14 分）解：() 显然函数 ()fx的定义域是 (0,). 1 分由已知得，1()1()axfa. 2 分当 0a时, 令 0x,解得 ; 令 ()0f,解得 x.所以函数 ()f在 1上单调递增,在 1,上单调递减. 3 分当 时， 当 1a时，即 1时, 令 ()0fx,解得 1xa或 ;令 ()0fx,解得 a.所以，函数 f在 (,)和 (,)上单调递增,在 (,1)上单调递减;4 分当 1a时，即 1时, 显然，函数 ()fx在 0,)上单调递增； 5 分当 时，即 0a时, 令 ,解得 1或 xa;令 ()fx,解得 .所以，函数 ()fx在 ,1和 a上单调递增,在 (,)上单调递减.6 分综上所述，当 0a时,函数 ()f在 0,上单调递增, 在 (1,)上单调递减；当 1时,函数 fx在 1,a和 )上单调递增,在 ,a上单调递减；当 时,函数 ()在 )上单调递增；当 0a