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1函 数 的 单 调 性 及 最 大 ( 小 ) 值第 一 部 分 函 数 的 单 调 性1.单 调 函 数 的 定 义 : 设 函 数 的 定 义 域 为 , 如 果 对 于 定 义 域 内 某 个 区 间 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值)(xfyIID, 当 时 ,2,x21( 1) 若 , 则 在 区 间 上 是 增 函 数)(xff)(fD( 2) 若 , 则 在 区 间 上 是 减 函 数21单 调 性 : 如 果 函 数 在 某 个 区 间 是 增 函 数 或 减 函 数 , 那 么 就 说 函 数 在 这 一 区 间 具 有 单 调 性 , 这)(xfy )(xfy一 区 间 叫 做 的 单 调 区 间 。 复 合 函 数 的 单 调 性 1、 定 义 :设 y=f(u),u=g(x),当 x在 u=g(x)的 定 义 域 中 变 化 时 , u=g(x)的 值 在 y=f(u)的 定 义 域 内 变 化 , 因此 变 量 x与 y之 间 通 过 变 量 u形 成 的 一 种 函 数 关 系 , 记 为 y=f(u)=fg(x)称 为 复 合 函 数 , 其 中 x称 为 自 变 量 , u为 中 间 变 量 , y为 因 变 量 (即 函 数 )2、 复 合 函 数 fg(x)的 单 调 性 与 构 成 它 的 函 数 u=g(x), y=f(u)的 单 调 性 密 切 相 关 , 其 规 律 如 下 : 函 数 单 调 性增 增 减 减()增 减 增 减yfu增 减 减 增()gx例 1、 已 知 , 求 的 单 调 性 。1,()32yfugx()yfgx例 2、 已 知 , 求 函 数 的 单 调 性 。2()13、 已 知 , 求 函 数 的 单 调 性 。,()yfx()yfx2、 已 知 , 如 果 , 那 么 ( )2()8x2()gfxgA. 在 区 间 ( -1, 0) 上 是 减 函 数 B. 在 区 间 ( 0, 1) 上 是 减 函 数C. 在 区 间 ( -2, 0) 上 是 增 函 数 D. 在 区 间 ( 0, 2) 上 是 增 函 数2第 二 部 分 最 值最 值 : 一 般 的 , 设 函 数 的 定 义 域 为 , 如 果 存 在 实 数 M 满 足 :)(xfyI( 1) 对 于 任 意 的 , 都 有 ;I( 2) 存 在 , 使 得 。x0xf)(0那 么 , 我 们 称 M 是 函 数 的 最 大 值 。y例 4、 求 函 数 在 区 间 2,6 上 的 最 大 值 和 最 小 值 。1x课 堂 检 测 1 函 数 f(x)( 2 x 2)的 图 象 如 下 图 所 示 , 则 函 数 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 为( )2、 函 数 的 单 调 区 间例 1、 下 图 中 是 定 义 在 区 间 5,5 上 的 函 数y f( x) , 根 据 图 象 说 出 函 数 的 单调 区 间 , 以 及 在 每 一 单 调 区 间 上 , 它 是 增 函 数 还 是 减 函 数 ?知 识 链 接 : 如 何 比 较 两 个 代 数 式 的 大 小 ?( 1) 作 差 法( 2) 作 商 法利 用 定 义 证 明 函 数 f(x)在 给 定 的 区 间 D上 的 单 调 性 的 一 般 步 骤 : 任 取 x1, x2 D, 且 x1x2; 作 差 f(x1) f(x2); 变 形 ( 通 常 是 因 式 分 解 和 配 方 ); 定 号 ( 即 判 断 差 f(x1) f(x2)的 正 负 ); 下 结 论 ( 即 指 出 函 数 f(x)在 给 定 的 区 间 D上 的 单 调 性 )例 2、 证 明 函 数 在 ( 1, + ) 上 为 减 函 数 y巩 固 练 习 : 试 确 定 函 数 f(x)= 在 区 间 上 的 单 调 性 。0,xy 1 2 3 4 5-2-4 -1-3-5 1231233A f(2), f(-2) B f( ), f( 1)1 2C f( ), f( ) D f( ), f(0)1 2 3 2 1 22 y 在 区 间 2,4上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 是( )2 xA 1, B. , 11 2 1 2C. , D. ,1 2 1 4 1 4 1 23 函 数 y ax 1 在 区 间 1,3上 的 最 大 值 为 4, 则 a _.4 已 知 函 数 y x2 4x 2, x 0,5(1)写 出 函 数 的 单 调 区 间 ;(2)若 x 0,3, 求 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 课 后 作 业一 、 选 择 题 (每 小 题 5 分 , 共 20 分 )1.函 数 y=|x-1|在 -2,2上 的 最 大 值 为 ( )A 0 B 1C 2 D 32 函 数 f(x) Error!, 则 f(x)的 最 大 值 、 最 小 值 为( )A 10,7 B 10,8C 8,6 D 以 上 都 不 对3 函 数 f(x) x2 3x 2 在 区 间 ( 5,5)上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 为( )A 42,12 B 42, 1 4C 12, D 无 最 大 值 , 最 小 值 1 4 1 44 已 知 函 数 f(x) x2 4x a(x 0,1), 若 f(x)有 最 小 值 2, 则 f(x)的 最 大 值 为 ( )A 1 B 0C 1 D 2二 、 填 空 题 (每 小 题 5 分 , 共 10 分 )5 函 数 y , x ( , 3 3, )的 值 域 为 _3 x46 已 知 二 次 函 数 f(x) ax2 2ax 1 在 区 间 2,3上 的 最 大 值 为 6, 则 a 的 值 为 _三 、 解 答 题 (每 小 题 10 分 , 共 20 分 )7 求 函 数 y 在 区 间 2,6上 的 最 大 值 和 最 小 值 2 x 18 求 f(x) x2 2ax 2 在 2,4上 的 最 小 值 9 (10 分 )某 市 一 家 报 刊 摊 点 , 从 该 市 报 社 买 进 该 市 的 晚 报 价 格 是 每 份0.40 元 , 卖 出 价 格 是 每 份 0.60 元 ,卖 不 掉 的 报 纸 以 每 份 0.05 元 的 价 格 退 回 报 社 在 一 个 月(按 30 天 计 算 )里 , 有 18 天 每 天 可 卖 出 400 份 , 其 余 12天 每 天 只 能 卖 出 180 份 摊 主 每 天 从 报 社 买 进 多 少 份 , 才 能 使 每 月 获 得 最 大 利 润(设 摊 主 每 天 从 报 社 买 进 的 份数是 相 同 的 )?【 解 析 】 若 设 每 天 从 报 社 买 进 x(180 x 400,x N)份 ,则 每 月 (按 30 天 计 算 )可 销 售 (18x 12180)份 ,每 份 获 利 0.20 元 ,退 回 报 社 12(x 180)份 ,每 份 亏 损 0.35 元 ,建 立 月 纯 利 润 函 数 ,再 求 它 的 最 大 值 设 每 天 从 报 社 买 进 x 份 报 纸 ,每 月 获 利 为 y 元 ,则 有y 0.20(18x 12180) 0.3512(x 180) 0.6x 1 188,180 x 400,x N.函 数 y 0.6x 1 188 在 区 间 180,400上 是 减 函 数 ,所 以 x 180 时 函 数 取 最 大 值 ,最 大 值 为y 0.6180 1 188 1 080.即 摊 主 每 天 从 报 社 买 进 180 份 时 ,每 月 获 得 的 利 润 最 大 ,最 大 利 润 为 1 080 元 .
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