高三数学推中试题1i 为虚数单位，若 i3)i(z ，则 |z ( )A1 B 2 C 3 D22已知 1|),(yx， 11|),(2yxy， “存在点 AP”是“ BP”的 ( ) A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件 C充要条件 D既不充分也不必要的条件3若 62)(xba的展开式中 x3项的系数为 20，则 a2 b2的最小值为 ( )A1 B2 C3 D44已知指数函数 ()yf、对数函数 ()ygx和幂函数 ()yhx的图象都经过点 P（,2） ，如果 123123()4,fxghx那 么 ( )A 76 B 6 C 54 D 325给出以下结论：在四边形 ABCD 中，若 ,ABAC则 是平行四边形；在三角形 ABC 中，若 a=5，b=8，C=60，则 20;已知正方形 ABCD 的边长为l，则 |2;ABC已知5,8,3(),abaDaACD则三点共线其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D46已知 x， y 满足约束条件 .02,yx若 z y ax 取得最大值的最优解不唯一，实数 a 的值为 （ ）A、 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或112 127如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(，1)， C( ，1)， D(0，1)，正弦曲线 f(x)=sinx 和余弦曲线 g(x)=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F，向矩形 ABCD 区域内随机投掷一点，则该CBxyOAEDFf(x)=sinxg(x)=cosx点落在阴影区域内的概率是（ ）A 21 B C 1 D 2 8已知正方形 的边长为 ， E为 的中点， F为 AD的中点，则FE_.9由直线 1yx上的点向圆 22(3)()1xy引切线则切线长的最小值为_.10、在平面几何里有射影定理：设ABC 的两边 ABAC，D 是 A 点在 BC 上的射影，则AB2BDBC拓展到空间，在四面体 ABCD 中，DA面 ABC，点 O 是 A 在面 BCD 内的射影，且 O 在面 BCD 内，类比平面三角形射影定理，ABC，BOC，BDC 三者面积之间关系为 11已知函数 axxxf 22sinco)62sin()62sin()的在区间 2,0上的最小值为 0. （）求常数 a 的值；（）当 ,0x时，求使 0)(xf成立的 x 的集合.12、设数列 na的前 项和为 nS，已知 12a， 8，11452nSS， T是数列 nlog的前 项和.（1）求数列 n的通项公式； （2）求 nT；（3）求满足 231101 3nT 的最大正整数 n的值.13如图，在棱长为 2 的正方体 1DCBA中，点 E， F 分别是棱 AB， BC 上的动点，且 AE=BF.（）求证： A1F C1E；（）当三棱锥 B的体积取得最大值时，求二面角EB1的正切值.14已知函数 1e)(axf(a 为常数)，曲线 y f(x)在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率为1.()求 a 的值及函数 f(x)的单调区间；()证明：当 0时， 1e2；ABBD CDB8 0 9 17 10. 2ABCOBDCSS 11解：（）因为 axxf 2cossin3，所以 axf)62sin(.因为 2,0x时， 67,，所以 67时 )(f的取得最小值af1)67(.依题意， 01a，所以 1；A BCDEFA1 B1C1D1（）由（）知 1)62sin(xf . 要使 0xf，即 21)6sin(x.所以 Zkxk,762，即 Zk,26.当 0时， ；当 时， 235x.又 ,x，故使 0)(xf成立的 x 的集合是 ,5,0.12解：当 2n时， 114nnnSS， 1S 14na. a， 28， 21a. 数列 n是以 1为首项，公比为 4的等比数列. 121nnn. （2）由（1）得： 212nnlogl， 122n nTaall log 1321n . （3） 2311nTT 222113n222422213514n 12n. 令 n013，解得： 487. 故满足条件的最大正整数 n的值为 287. 13解：设 xBFAE.以 D 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标： 0,D， ,2， 0,， ,2C， 2,01，1， 1， 1，,x， ,x.（）因为 )(1FA， ),(1xE，所以 02,2EC.CA BDEFA1 B1C1D1xyz所以 ECFA1（）因为 BEFBEFBEFSSV323111 ，所以当 BS取得最大值时，三棱锥 的体积取得最大值.因为 22xEF，所以当 x时，即 E， F 分别是棱 AB， BC 的中点时，三棱锥 B1-BEF 的体积取得最大值，此时 E， F 坐标分别为 0,12， ,.设平面 的法向量为 cbam,， 则 ,01,2cbamB得.0,2bac取 1,2，得 1,2.显然底面 ACD的法向量为1,n.设二面角 BEF1的平面角为 ，由题意知 为锐角.因为 3|,cosnm，所以 3cos，于是 32sin.所以 2tan，即二面角 1的正切值为.14解：（）由 e)(axf，得 axfe)(.又 1)0(f，所以 2.所以 12， 2e)(xf.由 2ex，得 lnx.所以函数 )(f在区间 ),(上单调递减，在 ),(ln上单调递增. ()证明：由（）知 4ln12e)2(llmin ff .所以 4ln1)(xf，即 41ex， 0x.令 e2g，则 0)(g.所以 )(x在 ),0上单调递增，所以 )(1e)(2gx，即 1e2x.