新县高中 2013 届高三年级 12 月份月考数学 试 题1、函数 axya13log 0，且 1的图象恒过定点 A，若点 A 在直线0nmx上（其中 m，n0） ，则 n2的最小值等于 （ ）A.16 B.12 C.9 D. 8【答案】D【解析】令 13x，得 2x，此时 1y，所以图象过定点 A )1,2(,点 A 在直线0nym,所以 0nm，即 n.8442)(1）（，当且仅当 nm4，即 时取等号，此时 1,，选 D.2、已知函数 (0)(),()xf fxaf若 方 程有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为(A) ,0(B),1)(C) ,1(D)0,)【答案】C【解析】做出函数 )(xf的图象如图， ，由图象可知当直线为 1y时，直线与函数 )(xf只要一个交点，要使直线与函数有两个交点，则需要把直线 向下平移，此时直线恒和函数 )(xf有两个交点，所以 1a，选 C.3、已知 、 是三次函数 321,fabR的两个极值点，且(0,1)， (,2)，则 ba的取值范围是（）A 5 B ,1)5 C (1,) D2(,)(,)答案：B解析：因为函数有两个极值，则 0)(xf有两个不同的根，即 0，又 baxf2)(2，又 )2,1(),0(，所以有 0)2(1f，即0241ba。 3的几何意义是指动点 ),(baP到定点 )3,(A两点斜率的取值范围，做出可行域如图， ，由图象可知当直线经过 AB 时，斜率最小，此时斜率为 5231k，直线经过 AD 时，斜率最大，此时斜率为 1230k，所以 25ab，选 B.4、已知函数 2()31fx，若 1()()0fxdf成立，则 _.答案：13解析：因为 f(x)dx (3x22x1) dx(x 3x 2x)| 4，所以 2(3a22a1)1-11-1 1 14a1 或 a .135、定义在 R 上的函数，对任意实数，都有 3fxf和 2fxf，且 2f，记 nf*N，则 208_.a分析与解答：由 x，得 1fxf，又 3fxf， 1fxf，又由 3x得 43ffx，由 2fxf得，4fx221fxfx，所以 1fxf，从而有1na， 08709a。6、已知函数 yf是 R 上的偶函数，对 R都有 f4fx2成立.当12x,0,，且 12x时，都有 12()fxf0，给出下列命题：（1） f；（2）直线 4是函数 yfx图象的一条对称轴；（3）函数 yfx在 4,上有四个零点；（4） f201f其中所有正确命题的序号为答案：（1） （2） （4）解析：令 x2，得 ff（24）f（2）f（2） ，解得：f（2）0，因为函数f（x）为偶函数，所以，f（2）0， （1）正确；因为 f（4x）f（4x4）f（x） ，f（4x）f（4x4）f（x）f（x） ，所以，f（4x）f（4x） ，即x4 是函数 f（x）的一条对称轴， （ 2）正确；当 12,0,，且 12x时，都有12()f0，说明函数 f（x0 在0,2上单调递减函数，又 f（2）0，因此函数f（x）在0,2上只有一个零点，由偶函数，知函数 f（x）在2，0上也只有一个零点，由 f（x4）f（x） ，知函数的周期为 4，所以，f（6）f（6）0，因此，函数在4,4上只有 2 个零点， （3）错；对于（4） ，因为函数的周期为 4，2012 是 4 的倍数，即有 f（0）f（4）f（8）f（2012） ， （4）正确；选（1） （2） （4） 。7、已知 ABC的三个内角 CBA,所对的边分别为 a， b， c，向量 (,)macb，(,)nacb,且 nm.()求角 的大小;()若向量 )2cos,(),10(Ats,试求 ts的取值范围.解：()由题意得 2,), 0nababcba，2 分即 bac22. 3 分.由余弦定理得 21os2abcC, 3,0. 5 分() )cos,()12cos,( BABAts, 6 分2 2c3t 41cos(2)cs2133cosin214AAA8 分in()6. 10 分672,30AA1sin(2)16所以2154st，故 5st. 12 分8、已知 2()ln,()3fxgxax. 求函数 在 0tt上的最小值； 对一切 0,， ()f恒成立，求实数 a 的取值范围； 证明对一切 ()x，都有 12lnxe成立.解答： lf，当 (0,)， (0f， ()fx单调递减，当 1(,)xe，()0fx， ()单调递增. 12te， t 无解； 0，即 10e时， min1()()fxfe； 12te，即 t时， 在 ,2t上单调递增， min()()lfxftt；所以 min10()leefxt， ，. 2l3ax，则 32lnx，设 3()2ln(0)hxx，则2(3)1)xh， (0,)， (0h， 单调递增，1,， h， x单调递减，所以 min()(1)4xh，因为对一切(0,)x， ()fg恒成立，所以 ia； 问题等价于证明 2ln(0,)xe，由可知()ln(0,)fx的最小值是 1e，当且仅当 1时取到，设2,xme，则 ()xm，易得 max1()()e，当且仅当1x时取到，从而对一切 (0,)x，都有 12lnxe成立.说明：本题是一道自编题，第一问考查单调和分类讨论的思想，第二问是通过转化与化归思想解决 ()h的最小值问题，第三问有一定的难度，如果直接化成 12ln0xe来解决，对 12lnxpe求导将无法得到极值点，通过将原不等式化归成 lxe，分别求 ()f的最小值和 ()mx的最大值来研究，则不难获得证明9、如图，点 P在 OMA上或它的内部，且 (,)OPAyBxR，当 y取最大值时，求 x的取值范围；（2）已知 是 BC内一点，且 3C，求 OC与的面积的比值.（1）解：设 (,)Pmn点 在 A上或它的内部运动，01mn又由 2,xyOxAyBn与 将代入，得012xy，画出可行域如图.由此可知， y的最大值为 0，相应的 x的取值范围为 |01x.（2）如图所示， /ABC是正三角形， O是 /ABC的重心，不妨设|1OB，则 |3，则13sin21230AOCS.10、设函数 2()ln,()fxxf表示 ()fx的导函数，2()()1mgxfx， （其中 ,0mR）(1)求 ()fx的单调区间(2)若对任意的 12,3，都有 12()fxg成立，求实数 m的取值范围x21yx20OAOBC/(3)试证明：对任意正数 a和正整数 n，不等式 1()2()2nnnfaf恒成立（1） (0,)增-2 分 2206,()33mh,得 6-6m 206,3h（ ） -得-2 分综上 ,)-1 分(3)设 1()()nnFxx2211()nnFxx2,0