主要内容重点难点BUPT EE退出 开始3.2 周期信号的频谱分析 傅 里叶级数三角形式的傅氏级数 指数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系 频谱图函数的对称性与付里叶级数的关系周期信号的功率函数的对称性与付里叶级数的关系傅立叶级数的系数和频谱退出第第2页页这一节我们学习付里叶级数（三角形式，指数形式），讨论周期信号（满足 狄利克雷条件 ）的频谱。主要内容如下：本节简介三角形式的傅氏级数指数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系及频谱图函数的对称性与付里叶级数的关系周期信号的功率退出第第3页页一 .三角形式的傅立叶级数1.正交函数集2.级数形式()112, , TTtf基波角频率为周期为周期信号在、满足 狄氏条件 时，可展成：()()1 sincos)(1110 =+=nnntnbtnaatf 直流分量+=TttdttfTa00)(10余弦分量的幅度+=TttntdtntfTa001cos)(2偶正弦分量的幅度+=TttntdtntfTb001sin)(23.傅里叶级数的系数：奇 L,1,0,sin,cos11=ntntn 详细信息退出第第4页页三角函数集 tntn11sin,cos 是一个完备的正交函数集t在一个周期内， n=0,1,. 都满足 正交函数集 基底函数 条件。tntn11sin,cos 0sincos2211=TTtmtn =nmnmTtmtnTT,0,2coscos2211=nmnmTtmtnTT,0,2sinsin2211由积分可知退出第第5页页其他形式00ac =22nnnbac += =nnnabtg1nnnca cos=nnncb sin=余弦形式00ad正弦形式=nnnabtg1nnnda sin=nnndb cos=()=+=110sin)(nnntnddtf 22nnnbad +=()()2 cos)(110 =+=nnntncctf 退出第第6页页关系称为幅度频谱关系称为相位频谱可画出 频谱图2.周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性1 nCn, 11的奇函数为的偶函数为 nbnann3. n1.信号都可分解为直流， 基波 （1） 和各次谐波 （1n，基波角频率的整数倍）的线性组合。 说明退出第第7页页例 3-2-1求周期锯齿波的三角形式的付里叶级数展开式。解：=221101101TTtdtTATa=22111110cos2TTntdtntTATa =2211111sin2TTntdtntTATb 3,2,1 )1(1L=+nnAn周期锯齿波的付里叶级数展开式为() L+= tAtAtf112sin2sin0 ()2/2/ )(111TtTtTAtf =直流 基波 谐波t( )tf21T21T112T =退出第第8页页二.指数形式的傅立叶级数1.复指数正交函数集 L2,1,0 1=netjn2.级数形式3.系数=11111001)()(TtjntjnTtjndteedtetfnF()4 )()(11tjnnenFtf=()5 =11011Ttjndte)t(fT利用 复变函数的正交特性nF 也可写为退出第第9页页复变函数的正交特性-329 页 6.3 (四)在区间 内，若复指数函数集满足以下关系),(21tt ),2,1,0(,)( nrtgrL=jidttgtgttji=0)()(21*ittiiKdttgtg =21)()(*用 表示 ，求相关系数 ),2,1,0(,)( nrtgrL=)(tf的共轭为 )()(,)()()()(2121tgtgdttgtgdttgtfCrrttrrttrr=P329(6-70)P329(6-73)则此复变函数集为 正交函数集 。退出第第10页页说明( )变换对。式是一对、唯一确定，则如给出 )5()4()(1tfnF ( )的线性组合。区间上的指数信号周期信号可分解为tjne1, ()4 )()(11tjnnenFtf=() ()5 )(11101=TtjndtetfTnF退出第第11页页三.两种系数之间的关系=TtjndtetfTnF011)(1)(=TTtdtntfTjtdtntfT0101sin)(1cos)(1()nnjba =21+=TTtdtntfTjtdtntfTnF01011sin)(1cos)(1)( ()nnjba +=21利用欧拉公式利用欧拉公式()njenFnF )(11=是复数)(),(11 nFnF 退出第第12页页nnncbanF2121)(221=+=相频特性=nnnabtg1幅频特性和相频特性幅频特性奇nbna1n是关于 的 偶函数)(1nF偶n奇退出第第13页页四. 频谱图幅度频谱ncn或 nnF )(1绘成的图形，简称幅度谱。01相位频谱131nn离散谱，谱线113nC0C1C3C请画出其幅度谱和相位谱。例3-2-2解：10=c 00=236.251=c 15.01=12=c 25.02=化为余弦形式1nc1C0C2C12024.2111225.015.001 n三角形式的频谱图，已 知+=42coscos2sin1)(111 ttttf+=42cos)15.0cos(51)(11 tttf三角形式的傅里叶级数的谱系数退出退出第第15页页化为指数形式( )()+=+)4()42(1111112122211)(tjntjtjtjtjtjeeeeeejtftjjtjjtjtjeeeeejejtf1111242421212112111)( +=tjnnenF1221)(=1)0( =F()15.0112.1211jejF=+=()15.0112.1211jejF =()41212jeF =()41212jeF=整理指数形式的傅里叶级数的系数退出第第16页页谱线1225.015.001115.01225.0 n125.001112.112() 1nF12.15.0 11)0(0= FF12.1)(11= FF12.1)(11=FF5.0)2(12= FF5.0)2(12=FF00= 15.01= 15.01= 25.02= 25.02=指数形式的频谱图退出第第17页页三角形式与指数形式的频谱图对比1225.015.001115.01225.0 n125.001112.112() 1nF12.15.0 11nc1C0C2C12024.2111225.015.001 n退出第第18页页四.总结（ 1）周期信号 f(t)的付里叶级数有两种形式（ 2） 周期信号的频谱是离散谱，三个性质（ 3） 两种频谱图的关系（ 4） 引入负频率（ 5） 对特殊信号不一定满足上述三个性质退出第第19页页(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式()=+=1110sincos)(nnntnbtnaatf = =+110)cos(nnntncc tjnnenFtf1)()(1=三角形式指数形式退出第第20页页收敛性 : ( ) )(,1nFn(2)三个性质唯一性： 的谱线唯一( )tf1n谐波性： （ 离散性）谱线只出现在 处1n退出第第21页页null 指数形式： )(1nF， n双边频谱 null 三角形式：nc， n单边频谱 000acF =)()(11 nFnF =null 指数形式的相位谱为奇函数 )()(11(3)两种频谱图的关系 nn =两者幅度关系 =)(1nF ()021ncnnull 指数形式的幅度谱为偶函数 退出第第22页页(4)引入负频率对于双边频谱，负频率)(1n，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率?Q( )tf是 实函数 ，分解成虚指数，必须有共轭对tjne1与 tjne1，才能保证 f(t)实函数性质不变。 退出第第23页页(5)对特殊信号不一定满足上述三个性质 ）)(tT的频谱，有离散性，谐波性，无收敛性， 频 带无限 宽( )1nFOLLT1() ()TdtetTnFTTtjn112211= tjnnTeTttf11)()(=LLt0( )tTTT( )1,)()(=nTnTtt 例如： 冲激序列(n 为整数）的付里叶级数分析： 狄氏条件是傅里叶级数存在的 充分条件 。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数的 存在 。即退出第第24页页五函数的对称性与付里叶级数的关系奇函数偶函数奇谐函数偶谐函数注：指交流分量退出第第25页页1. 为奇函数对称于坐标原点,( ) ( )tftf =)(tfLL0tTT0= )(1220 =TTdttfTa0cos)(2221=TTntdtntfTa =201010sin)(4sin)(2TTntdtntfTtdtntfTb ()()nnnnjbjbanFF =2121)(1( )tf傅氏级数只有正弦分量， 是虚函数。)(1nF退出第第26页页对称于坐标纵轴，( ) ( )tftf =2010cos)(4TntdtntfTa 0=nb()nnnnajbanFF2121)(1= 2 为偶函数)(tfLL0tTT不一定为 0， 傅 氏级数只有余弦分量， 是实函数。0a)(1nF( )tf退出第第27页页()=2Ttftf波形移动2T，与原波形横轴对称，称为奇谐函数。f(t)的付氏级数偶次谐波为零，即 n=2,4,6,时 ,0=nnba3 为奇谐函数n=1,3,5,时=201cos)(4TntdtntfTa =201sin)(4TntdtntfTb )(tfLL0tTT2T( )tf退出第第28页页()=21Ttftf112T =原波形移动21T与原波形重合，称为偶谐函数。 4 为偶谐函数f(t)的付氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量即 n=1,3,5,时 ,n=2,4,6,时=20111sin)(4TntdtntfTb 0=nnba=20111cos)(4TntdtntfTa )(tfLL0t1T1T21T( )tf退出第第29页页六周期信号的功率2.证明1. 描述周期信号的平均功率 =各正交分量的平均功率之和4.功率谱系数3.总结退出第第30页页2