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2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练数 学(理科)第 卷 选 择 题 ( 共 60 分 )一 选 择 题 : 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ( 本 大 题 共 12 小 题 ,每 小 题 5 分 , 共 60 分 )1已知 ,则 等于( )1,()xRfi(1)fiA B1 C3 D2i3i2设随机变量 ,若 ,则 ( )2()XN:(0).PX(24)PXA0.1 B0.2 C0.4 D0.83对具有线性相关关系的变量 ,测得一组数据,xy 如右表所示,由最小二乘法求得回归方程为 ,则表0.952.6中看不清的数据为( )A4.8 B5.2 C5.8 D6.24若两个正实数 x,y 满足 ,且不等式 有解,则实数 m 的取值范围为14xy234yxm( )A B C D(1,)(,)(,)(,)(,0)(,)5 的展开式中 的系数为-192,则实数 =( )6ax2xaA B2 C D46已知函数 ,且 在区间 上递减,()sin3cos(0),()062f ff()fx(,)62则 等于( )A3 B2 C6 D57若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距依次成等差数列,则该双曲线的离心率是( )A B C D43535748在 中,AB=3,BC=2, ,则 AC 等于( )3ABA B C D71929已知 ,B 是曲线 与 围成的封闭区域,若向区域 A 上(,),xyyx随机投一点 P,则点 P 落入区域 B 的概率为( ) A B C D1314181210数列 满足 ,若 ,则 的值是( )na12,0,1nnna167a2016A B C D 675737111已知某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体 积是( )A B C D13236512已知函数 有三个不同的零,0()ln2xaf 点,则实数的取值范围是( )aA B C D1ln2,(,1ln2)0,3第卷 非选择题(共 90 分)二填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置)13若命题“ , ”为假命题,则实数 的取值范围是 ;0xR20390axa14执行如下图所示的程序框图,若输入的 值为 2,则a输出的 P 值是 ;15过抛物线 焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 ,则24yx 3AF的面积为 ; AOB16设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 的最大值为_;nanS4510,S4a三解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分)17(本小题满分 12 分) 已知等差数列 的各项均为正数, ,且na1, , 成等比数列21a3612a()求 的通项公式;n()设 ,求数列 的前 n 项和 1bnbnS18(本小题满分 12 分) 某权威机构发布了 2015 年度“城市居民幸福排行榜” ,某市成为本年度城市最“ 幸福城” ,随后,该市某校学生会组织 部分同学用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。现 从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们 的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,以小数点后的一 位数字为叶)()指出这组数据的众数和中位数;()若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福” ,求从这 16人中随机选取 3 人,至多有一人是“极幸福” 的概率;(III )以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 X 表示抽到“极幸福” 的人数,求 X 的分布列和数学期望19(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边 长为 1 的正方形, 面 ABCD,E,F 分别为 AB,PC 的中点PA()求证: 面 PAD;EF:()若 PA=2,试问在线段 EF 上是否存在点 Q,使得二面角 Q-AP-D 的余弦值为 ?若存在,确定点的位置;若5 不存在,请说明理由20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过.3(2,0)(,1,)2ABC(I)求椭圆 E 的方程;(II)设经过 点的直线 交椭圆异于 A、B 的两点 M,N,试证明直线 AM 与 BN 的交点在,0Dl一条定直线上,并求出该直线的方程21(本小题满分 12 分) 已知函数 其中2()ln1)(0)xfxaaR(I)当 ,求 的极值;12a()fx(II)当 时, 存在两个极值点 ,试比较 与 的大小;, 12,x12()fxf(0)f(III )证明: .(n-1)2!,)enN请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图,AB,CD 是圆的平行弦, ,BF 交 CD 于点BFAC: E、交圆于 F,过点 A 的切线交 DC 的延长线于点P,PC=ED=1 ,PA=2 ()求 AC 的长;()求证:BE=EF 23.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ,直线 的参数方程为: ( 为参数),点 P 的坐2sincos(0)al 24xty标为(-2,-4),直线 与曲线 C 分别交于 A,B 两点l()求曲线 C 的直角坐标方程;()若 成等比数列,求 的值,PABa24 (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 2()23,()1+fxaxgx()若 时,解不等式: ;1236a()若对任意 ,都存在 ,使得 成立,求实数 a的取值范围0, R12()gfx2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第五次适应性训练数 学(理科答案)一 选 择 题 : CCACB BBCDC BA二填空题:13 ; 144; 15 ; 1642,32三解答题:17 【解】:(I)由题意设 , 得1()0nad21(1)()(5)2dd。31,2nda(II) 41411()( )()3232325832n nb Sn n 2318 【解】:(I)众数:8.6;中位数:8.75(II)设 表示所取三人中有 i 个人“极幸福” ,至多有一人是“极幸福”记为i=0123A( , , , )事件 A,则3124016()()0CPA(III) 【解】: X 的所有可能取值为 0,1,2,3,0312213 317379(),()(),()()464646CPXPXC0(PX 的分布列为 13()4EX19 【解】:(I)以点 A 为坐标原点,AD 为 x 轴正方向,AB 为 y 轴正方向,AP 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系,则 D(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2),C(1,1,0),平面 PAD 的一个法向量为 ,则有 EF 面 PAD.1(0,)(,0)2nEFnEF:(II)存在这样的点 Q,为线段 EF 的中点。证明:设 平面 APQ 的一个法向量为 ,则(,)Qt 00(,)nxyz11,2(,2)APt取 ,得 ,00012xtytznQ 01x002,(1,20)ytznt由图可知该二面角为锐二面角, , ,25cos 414tQAPDt1(,)2Q所以点 Q 为线段 EF 中点。20 【解】:(I)设椭圆 E: ,将 A,B,C 代入得21(0,)AxBy2143xy(II)将直线 代入椭圆方程得 ,设:)lk222(3)8()0kk,则 ,12(,)(,)MxyN21211212284, 583kxxxx直线 AM 的方程为 ,即 ,1()y1()y直线 BN 的方程为 ,即 ,2()x2()kx联立得 1221212(3583)44xx或221212122 2(3)+43(+(3) 84)44kkxxx),所以直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x=4 上2246()34kx21.【解】:() ,12()ln)xfx2214()()()xfx所以 上递减,在 上递增。故 ,无极大 值.(2,)2,=lnf极 小 值() ,2244()1()1aafxxx212124(,), 0,2 xxa1112ln() ln()fxfaxx设 t= ,则a20,()ltffgtt又 ,所以 在 上单调递减,2()()gtt(0,1)()10gt1fxf(III)由()知,当 时, ,令(0,1)t()lngtt(2,)tnN得 ,则 ,叠加得lnl2l34,1l,即123()nl! (n-)2!,)e22.【解】:()由切割线定理知: ,又 PC=ED=1,得 CE=2,连接 BC,2,4PACDP,又 , ,PACBCBB:AC2,2PABC() 由 ,得到 EF=BE2EEFE23.【解】:解:()C: yax()将直线的参数表达式代入抛物线得 21(4)1640tat12128,38tt因为 由题意知,112|,|PAtBAt代入得 2221 5)(tt 1a24.【解】:()不等式的解集为 。x()由题意知函数 的值域为函数 的值域的一个子集,而yg()yfx,有()33,2fxaxag3142aa
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