第十二章复习 轴对称 方 格第十二章的章节解读一、轴对称变换及关于坐标轴对称的点的坐标，在历年中考中经常出现，题型多为选择、填空、作图居多，属于低档题，轴对称以及后面学习的中心对称，旋转等知识的综合题，在近几年的中考中经常出现，因此，要求学生在做这种题目时候要熟记关于坐标轴对称的点的坐标特征及轴对称的性质二、 等腰三角形解读：本节知识属于初中数学知识的基础，对部分知识的命题主要考查等腰三角形和等边三角形的性质、判定，即边角的转化。这部分在中考中多以选择、填空的形式出现。在命题中，这部分的知识较为常见，中考中还常以探究性的问题出现，如函数中的动点问题，考查动点在何处是形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。如：1、已知等腰三角形两边长，求周长2、已知等腰三角形的一个角（锐角或钝角）求其他两个角的大小3、如图在ABC 中， B30，ED 垂直平分 BC，ED3，则 CE 长为_4、在ABC 中，C 90，AC=3 ，B=30，ABDCEP 是 BC 边上的动点，则长不可能是（）.一、本章的重点是：轴对称、轴对称变换、线段垂直平分线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定.难点是：等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.二、学法指导在本章的学习中，要逐步体会轴对称的思想，同时由特殊到一般的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.知识网络图示基本知识整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点 P（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为 P（x，-y）.（2）点 P（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为 P（-x，y）.（3）点 p（x,y）关于原点对称的点的坐标_(4) 点 p（x,y）关于平行于 x 轴的直线对称的点的坐标_(5) 点 p（x,y）关于平行于 y 轴的直线对称的点的坐标_4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角” ）.（前提是：同一个三角形）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（三线合一定理）（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（此定理可判定：1、点的位置 2、线段垂直平分线）2、连接与线段两端点距离相等的两点的直线是这条线段的垂直平分线（此定理可直接判定直线是线段的垂直平分线）3.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ）.（ 此定理可判定：等腰三角形）4.三个角都相等的三角形是等边三角形.5.有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.专题总结及应用一、用轴对称的观点证明有关几何命题例 1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：在ABC 中，C=90，A=30，如图所示.求证：BC= 21AB证明：如图所示.作出ABC 关于 AC 对称的ABC.AB=AB.又CAB=30，B=B=BAB=60.AB=BB=AB又ACBB，BC=BC= 21BB= AB.即 BC=21AB.例 2 如图所示，已知ACB=90，CD 是高，A=30.求证 BD=41AB.证明：在ABC 中，ACB=90，A=30，BC= 21AB，B=60.又CDBA，BDC=90，BCD=30.BD= 21BC.BD= 21 AB=4AB.即 BD= AB.二、有关等腰三角形的内角度数的计算例 3 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求A 的度数.（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.解：AB=AC，BC=BD=ED=EA，ABC=C=BDC，ABD=BED，A=EDA.设A=，则EDA=，ABD=BED=2，ABC=C=BDC=3（根据三角形的外角性质）.在ABC 中，A=，ABC=ACB=3，由三角形内角和可得 +3+3=180，= 7180，A= 7180.A 的度数为 .例 4 如图所示，在ABC 中，D 在 BC 上，若 AD=BD，AB=AC=CD，求BAC 的度数.解：AD=BD，AB=AC=CD，B=C=BAD，CAD=CDA.设B=C=BAD=，则CAD=CDA=2，BAC=3.在ABC 中，BAC=3，B=C=，3+=180，=36” ，3=108，即BAC=108.BAC 的度数是 108.三、作辅助线解决问题例 5 如图所示，B=90，AD=AB=BC，DEAC.求证 BE=DC.证明：连接 AE.EDAC，ADE=90.又B=90，在 RtABE 和 RtADE 中，RtABERtADE（HL） ，BE=ED.AB=BC，BAC=C.又B=90，BAC+C=90.C=45.DEC=45.C=DEC=45.DE=DC，BE=DC.例 6 如图所示，在ABC 中，AB=AC，在 AB 上取一点 E，在 AC 延长线上取一点 F，使BE=CF，EF 交 BC 于 G.求证 EG=FG.证明：过 E 作 EMAC，交 BC 于点 M，EMB=ACB，MEG=F.又AB=AC，B=ACB.B=EMB，EB=EM.又BE=CF，EM=FC.在MEG 和CFG 中，MEGCFG（AAS）.EG=FG.例 7 如图所示，在ABC 中，B=60，AB=4，BC=2.求证ABC 是直角三角形.（分析）欲证ABC 是直角三角形，只需证明BCA=90即可.证明：取 AB 的中点 D，连接 CD . BC=2，AB=4，BC=BD=AD=2.BCD=BDC.又B=60，BCD=BDC=60.DC=BD=DA.A=DCA. 又BDC 是DCA 的一个外角，BDC=A+DCA=60.A=30，BCA=180-B-A=180-60-30=90.ABC 是直角三角形.基础训练1.等腰三角形的一边等于 5，一边等于 12，则它的周长为( )A.22 B.29 C.22 或 29 D.172.如图 14110 所示，图中不是轴对称图形的是( )3.在ABC 中，A 和B 的度数如下，其中能判定ABC 是等腰三角形的是( )A.A=50，B=70 B.A=70，B=40C.A=30，B=90 D.A=80，B=604.如图 14-111 所示，在ABC 中，AB=AC，BD 是角平分线，若BDC=69，则A 等于( )A.32 B.36 C.48 D.525. 右图是屋架设计图的一部分，其中A=30，点 D 是斜梁 AB 的中点，BC、DE 垂直于横梁 AC，AB=16 m，则 DE 的长为（ ）A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m6. 等腰三角形有 条对称轴.等边三角形有 条对称轴.7.在ABC 中，AB=AC，A+B=140，则A= .8. 如图，AB=AC，A=40，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则DBC=_9、 （1）等腰三角形的一个内角等于 130，则其余两个角分别为 ；（2）等腰三角形的一个内角等于 70，则其余两个角分别为 .10、分别写出下列各点关于 x 轴及 y 轴对称的点的坐标：（2，6） （1，3） （5，12） （6，1） （0，10） （12，0）关于 x 轴对称_关于 y 轴对称_三、作图11、如图，ABC 和ABC成轴对称图形，试作出对称轴12、作出下面图形关于直线 l 的轴对称图形。ABC CAB13、在下面左图中找出点 A，使它到 M，N 两点的距离相等，并且到 OH，OF 的距离相等。14、如下面右图，某地由于居民增多，要建一个公共汽车站，B 为居民区，要求汽车站到两个居民区的距离相等，请找出汽车站应该建在什么地方？15、在下面左图中找到一点 M，使它到 A、B 两点的距离和最小。16、如上面右图，四边形 ABCD 的顶点坐标为 A（5，1） ，B（1，1） ， C（1，6） ，D（5，4） ，请作出四边形 ABCD 关于 x 轴及 y 轴的对称图形，并写出坐标。17、某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO） ，AO 桌面上摆满了桔子，BO 桌面上摆满了糖果，坐在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位。请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？四、应用提高18、在ABC，BC=BA，点 D 在 AB 上，且 AC=CD=DB，求ABC 各角度数。19、ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=5cm，CBD 的周长为 24cm，求ABC 的周长。20、如图，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC21、已知等腰三角形的两边 a，b，满足 +(2a+3b-13)2=0，求此等腰三角形的周532ba长。22、如图 14106 所示，在ABC 中，D 在 BC 上，若 AD=BD，AB=AC=CD，求BAC 的度数.23、如图 14104 所示，已知ACB=90，CD 是高，A=30.求证 BD AB. 4124、如图 14-109 所示，在ABC 中，B=60，AB=4，BC=2.求证ABC 是直角