第十一章 全等三角形111 全等三角形教学目标：1 了解全等形及全等三角形的的概念；2 理解全等三角形的性质；3 在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；4 学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。重点：探究全等三角形的性质难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角教学过程：观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形问题：你还能举出生活中一些实际例子吗？这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形引导学生完成课本 P3思考：归纳:一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用“”表示，读作“全等于”两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ABC和DEF 全等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记作ABCDEF。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角思考：如课本 P3思考图 11.1-1 中，ABCDEF，对应边有什么关系？对应角呢？归纳:全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。思考：（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角- 2 -oOBACDABCDAB C DCA BD（2）将ABC 沿直线 BC 平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？B CA DFE（3）如图，ABEACD, AB 与 AC，AD 与 AE 是对应边，已知：A=43，B=30，求ADC 的大小。AB CD E作业：P4 习题 11.1 第 1，2，3 题。课题：112 三角形全等的判定(1)教学目标- 3 -经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神教学难点三角形全等条件的探索过程一、复习过程，引入新知多媒体显示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等二、创设情境，提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢?组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳三、建立模型，探索发现出示探究 1，先任意画一个ABC，再画一个ABC，使ABC 与ABC，满足上述条件中的一个或两个你画出的ABC与ABC 一定全等吗?让学生按照下面给出的条件作出三角形(1)三角形的两个角分别是 30、50(2)三角形的两条边分别是 4cm，6cm(3)三角形的一个角为 30，条边为 3cm再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等出示探究 2，先任意画出一个ABC，使 ABAB，BCBC，CACA，把画好的ABC剪下，放到ABC 上，它们全等吗?让学生充分交流后，在教师的引导下作出ABC，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等四、应用新知，体验成功实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的鼓励学生举出生活中的实例给出例 l，如下图ABC 是一个钢架，ABAC，AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架，求证ABDACDAB CD让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程例 2 如图是用圆规和直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：以 A 为圆心画弧，分别交角的两边于点 B 和点 C；分别以点 B、C 为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点 D；画射线 ADAD 就是BAC 的平分线你能说明该画法正确的理由吗?- 4 -例 3 如图四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，你能把四边形 ABCD 分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试AB CD五、巩固练习：课本 P8 页的练习六、反思小结回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律七、布置作业课本 P15 习题 112 第 1、2 题课题：11.2 三角形全等的判定 2)教学目标经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神教学难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件知识重点应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等- 5 -ABC D EABCD EFM教学过程（师生活动）一、情境，引入课题多媒体出示探究 3：已知任意ABC，画ABC，使ABAB，ACAC，AA教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好的ABC，剪下放在ABC 上，观察这两个三角形是否全等二、交流对话，探求新知根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)补充强调：角必须是两条相等的对应边的夹角，边必须是夹相等角的两对边三、应用新知，体验成功出示例 2，如图，有池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CDCA，连接 BC 并延长到 E，使CECB连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么?让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据(若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析：要想证 ABDE，只需证ABCDECABC 与DEC 全等的条件现有还需要)明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决补充例题：1、已知：如图 AB=AC,AD=AE,BAC=DAE求证： ABDACE证明:BAC=DAE（已知） BAC+ CAD= DAE+ CADBAD=CAE在ABD 与ACEAB=AC（已知） BAD= CAE （已证）AD=AE（已知）ABDACE（SAS)思考：求证：1.BD=CE 2. B= C 3. ADB= AEC变式 1：已知：如图，ABAC,ADAE,AB=AC,AD=AE.求证： DACEABBE=DC B= C D= E BECD四、再次探究，释解疑惑出示探究 4，我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等由“两边及其中一边的对角对应相等”的- 6 -条件能判定两个三角形全等吗?为什么?让学生模仿前面的探究方法，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等教师演示：方法(一)教科书 10 页图 11.2-7方法(二)通过画图，让学生更直观地获得结论五、巩固练习课本 P10 页，练习 1、2六、小结提高1判定三角形全等的方法；2证明线段、角相等常见的方法有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生自己将知识系统化，以自己的方式进行建构七、布置作业1课本 P15 页，习题 112 第 3、4 题2选作题：(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得 DEDF，EHFH，你能发现哪些结沦?并说明理由(2)如图，12，ABAD，AEAC，求证 BCDE课题： 11.2 三角形全等的判定(3)教学目标探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA” “AAS”，并能应用它们判别两个三角形是否全等经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难教学重点理解，掌握三角形全等的条件：“ASA” “AAS”教学难点探究出“ASA” “AAS”以及它们的应用教学过程（师生活动）创设情境复习：师：我们已经知道，三角形全等的判定条件有哪些?生：“SSS” “SAS”- 7 -DBEAOC师：那除了这两个条件，满足另一些条件的两个三角形 是否也可能全等呢?今天我们就来探究三角形全等的另一些 条件。探究新知：一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？1师：我们先来探究第一种情况(课件出示“探究 5”)(1)探究 5先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使ABAB，AA，BB(即使两角和它们的夹边对应相等)把画好的ABC剪下，放到ABC 上，它们全等吗?师：怎样画出ABC?先自己独立思考，动手画一画。在画的过程中若遇到不能解决的问题可小组合作交流解决生：独立探究，试着画ABC，(有问题的，可以小组内交流解决)(2)全班讨论交流我们又增加了种判别三角形全等的方法特别应注意， “边”必须是“两角的夹边” 练习：已知：如图，AB=AC，A=A ，B=C求证：ABE ACD 例 1. 已知：点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD相交于点 O，AB=AC，B=C。 求证：BD=CE 2探究 6师：我们再看看下面的条件：在ABC 和DEF 中，AD，BE，BCEF，ABC 与DEF 全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?AB CDE F师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明师：你是怎么证明的?(根据学生的不同探究结果，进行不同的引导)师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等这又反映了一个什么规律?师：生 1 很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS” ，又增加了判定两个三角形全等的一个条件强调“AAS”中的边是“其中一个角的对边” 多让几个学生描述，进一步培养归纳、表达的能力例 2课本 P12 页例 3。师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等的又一方法，先证两线段所在的三角形全等，这样，对应边也就相等了探究 7：(1)三角对应相等的两个三角形全等吗?师：想想，怎样来探究这个问题?引导学生通过“画两个三角对应相等的三角形” ，看是否一定全等，或“用两个同- 8 -一形状但大小不同的三角板”等等方法来探究说明师：这一规律我们可以怎样表达?(2)师：说得非常好现在我们来小结一下；判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?SSS SAS ASA AAS小结提高师：这节课通过对两个三角形全等条件的进一步探究，你有什么收获?巩固练习课本 P13 页，练习 1、2布置作业1.课本 P15 页习题 11.2 第 6、11 题2如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以，带哪块去合适?为什么?课题： 11.2 三角形全等的判定(4)教学目标探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用它判别两个直角三角形是否全等经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反