- 1 -北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/参考公式：样本方差 ，其中 为样本平均数22221()()()nsxxxn第卷（选择题 共 40 分）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 是虚数单位，若 ，则 的值是（ ）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/i12(,)iabiRabA B C D 2122. 设全集 ， ， ，则 等于（ 3,IxxZ1,A,B()IAB）A B C D 1,220,23. 如图，已知 是 的一条弦，点 为 上一点， ，OPABPO交 于 ，若 ， ，则 的长是（ ）PC4A2A B C D http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/3 24. 的展开式中 项的系数是（ ）8(2)xy62xyA B http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/ 565C D 85. 如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为 ，45则判断框中应填入的条件是（ ）A B4?T4?TC D33http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/ABCOP否是S=S+ 1T iT=T+1i=i+1结 束输 出 SS=0T=0i=1开 始- 2 -http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/6.某人向一个半径为 的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是6随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于 的概率为（ ）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/2A B C D 131914127. 已知数列 的通项公式 ，设其前 项和为 ，则使 na3log()nan*NnnS4n成立的最小自然数 等于（ ）A B C D838281808. 定义在 上的函数 是减函数，且函数 的图象关于 成中心对R()yfx()yfx(1,)称，若 ， 满足不等式 则当 时， 的取值范围是（ st22()sft4st）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/A B C D1,)41,41,)1,2第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡相应位置的横线上9. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_ http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/10. 将 ， ， 按从大到小的顺序排列应该231()2 是 11.在平行四边形 中，若 ， ，则ABCD(1,3)(2,5)AC_， _ - 3 -12.圆的极坐标方程为 ，将其化成直角坐标方程为_，圆心的sin2cos直角坐标为_ 13. 直线 过双曲线 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别tx12byax(0,)ab交于 ， 两点，若原点在以 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ABAB14如果对任意一个三角形，只要它的三边长 ， ， 都在函数 的定义域内，就有abc()fx， ， 也是某个三角形的三边长，则称 为“ 型函数”. 则下列函数：()fafb()fc()f ； ； ，()fx()singx(0,)()lnhx2,)其中是“ 型函数”的序号为 http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分 13 分）http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/设函数 1()3sincosin()2fxxx（）求 的最小正周期；http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/（）当 时，求函数 的最大值和最小值http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/0,2x()fx16 （本小题满分 13 分）在一次数学统考后，某班随机抽取 10 名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下（）计算样本的平均成绩及方差；（）现从 10 个样本中随机抽出 2 名学生的成绩，设选出学生的分数为 90 分以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和均值Xhttp:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/17 （本小题满分 14 分）如图 1 所示，在边长为 12 的正方形 中，点 在线段 上，且 ，1AD,BCAD3B，作 ，分别交 ， 于点 ， ，作 ，分别交 ，4BCA11P11于点 ， ，将该正方形沿 ， 折叠，使得 与 重合，构成如图 2 所1ADQB1C9 2 8 88 5 57 4 4 46 0 0- 4 -示的三棱柱 http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/1ABC（）求证： 平面 ；1B（）求四棱锥 的体积；QP（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值AChttp:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/18 （本小题满分 13 分）已知函数 ， http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/1()lnfxaxR（）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；y(,)f 20xya（）求函数 的单调区间；()fx（）当 ，且 时，证明： 1a2(1)5fxhttp:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/ABCA1B1C1PQ图 2ABCDA1B1C1D1PQ图 1- 5 -http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/19 （本小题满分 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为2:1xyCab(0)12半径的圆与直线 相切6（）求椭圆 的方程；（）设 ， ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭(4,0)PABCxPB圆 于另一点 ，证明直线 与 轴相交于定点 ；CEQ（）在（）的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，求 的取QMNON值范围http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/20.(本小题满分 14 分)已知数列 满足 ， .nx142134nx()求证： ；3n()求证： ；1x()求数列 的通项公式.nhttp:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/- 6 -北京市东城区 2009-2010 学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案 （理科） http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1C 2D 3B 4 A 5B 6B 7 C 8Dhttp:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9 10 2312()11 ， 12 ， http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/(1,2)0,)25(4xy1(,)213 14 ,注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15. （本小题满分 13 分）解： http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/1()3sincosin()fxxx2ic2http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/31sinosx6 分i(2)6（） ，故 的最小正周期为 . 27 分T(fx（）因为 ， http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/02所以 9 分656x所以当 ，即 时， 有最大值 ，11 分3)(xf0当 ，即 时， 有最小值 13 分2x0x3216. （本小题满分 13 分）解: （）样本的平均成绩 3 分8方差为 - 7 -22222221(980)()(980)(58)(0)(748)s6 分74617（）由题意,随机变量 ， ， .X1， ， .2710()5CPX13720()5CP2310()5CPX随机变量 的分布列为 71515. 13 分302EX17. （本小题满分 14 分）（）证明：在正方形 中，因为 ，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/1AD5CADBC所以三棱柱 的底面三角形 的边 BC因为 ， ，34所以 ，所以 2 分22AAB因为四边形 为正方形， ，http:/www.ks5u.com/gaokao/beijing/1D1所以 ，而 ，BC所以 平面 5 分A1（）解：因为 平面 ，1B所以 为四棱锥 的高BCQP因为四边形 为直角梯形，且 ， ，3A7CQB所以梯形 的面积为 1202BCQPS所以四棱锥 的体积 9 分A3ABCQPVS（）解：由（） 、 （）可知， ， ， 两两互相垂直以 为原点，建立如1B图所示的空间直角坐标系 ，Bxyz则 ， ， ，0,3A,04