新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 12015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设函数 在 连续，其 2 阶导函数 的图形如下图所示，则曲线()fx（ -,+） ()fx的拐点个数为（）y（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】【详解】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由 的图形可知，曲线 存在两个拐点，故选(C).()fx ()yfx2、设 是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个特解，213xxyee xyabce则（）（A） （B）,1.abc3,21.abc（C） （D）32【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 2【详解】 为齐次方程的解，所以 2、1 为特征方程 的根，从而21,3xe 2+0ab再将特解 代入方程 得：2,abxye3xyce 1.3、若级数 条件收敛，则 与 依次为幂级数 的：1n3x1nna（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】【详解】因为 条件收敛，故 为幂级数 的条件收敛点，进而得1na2x1nnax的收敛半径为 1，收敛区间为 ，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1nx0,的收敛区间仍为 ，因而 与 依次为幂级数 的收1nna ,23x1nnax敛点、发散点.4、设 D 是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域，函数1,4xy,yx在 D 上连续，则(,)fxy()Dfd（A） （B） 12sin42(cos,in)dfrr 1sin224(cos,in)dfrrd（C） （D）13sin42(,i)fd 1sin234(,i)f【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】【详解】由 得， ；由 得，yx43yx新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 3由 得，21xy21cosin,sin2rr由 得，42i,i所以1sin234(,)(cos,in)Dfxydfrrd5、设矩阵 ， ，若集合 ，则线性方程组 有无穷多个21Aa2bd1,2Axb解的充分必要条件为（A） （B）,ad,（C） （D）ad【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】【详解】 2111, 01422Abadad 有无穷多解x(),)3RAb或 且 或1a1d6、设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中23(,)fxxPy2213y，若 ，则 在正交变换 下的标准形为123(,)Pe12(,)Qe123(,)f xQ（A） （B）2y1y（C） （D）213223【答案】(A)新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 4【考点】二次型【难易度】【详解】由 ，故 且：xPy2213()TTfxAyPy201TPA1020,()1TTQPPCQC 所以 ，故选(A)2213()TTfxAyy7、若 为任意两个随机事件，则,B（A） （B ）()()P()()PAB（C） （D ）2A(2P【答案】(C)【考点】【难易度】【详解】 )(),()ABPAP2B()(故选 （ C）8、设随机变量 不相关，且 则X,Y2,1,3,EXYD2EXY（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5【答案】(D)【考点】【难易度】【详解】新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 52225EXYEXYEXYEXD二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、 20lncosimx【答案】 1【考点】极限的计算【难易度】【详解】222200001lncosln(1cos)cosimilimlixx xx10、 2-()1sd【答案】24【考点】积分的计算【难易度】【详解】22 20-sin()1co4xdx11、若函数 由方程 确定，则 .,zy+coszey(0,1)dz【答案】【考点】隐函数求导【难易度】【详解】令 ，则 ， ， ，(,)cos2zFxyexyx1sinxFyzxyFzxy又当 时， ，所以 ， ，因而0,10(0,1)z(0,1)z(0,1)d12、设 是由平面 与三个坐标平面所围成的空间区域，则xyz新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 6(23)xyzdx【答案】 14【考点】三重积分的计算【难易度】【详解】由轮换对称性，得 x2y3zdxyz 6zdxyz6zd01xdyDz其中 为平面 截空间区域 所得的截面，其面积为 .所以Dz z 12z2x2y3zdxyz 6zdxyz6z12z2dz01 3z32zdz01 1413、 n 阶行列式02-10-2 【答案】 12【考点】行列式的计算【难易度】【详解】按第一行展开得2n1214、设二维随机变量 服从正态分布 ，则 .(,)XY(1,0)N(0)PXY新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 7【答案】 12【考点】【难易度】【详解】 ， 且 独立(,)(1,0)XYN(1,)(0,1)XNY,XY，1PP10,10Y， 122三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、 （本题满分 10 分）设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，()ln(1)sinfxaxb3()gxk()fxg0x求 ， ， 值。abk【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】【详解】 ()ln(1)sinfxaxb233!x23 1axbx是等价无穷小3()fgk与1+01 2233aabkk新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 816、 （本题满分 10 分）设函数在 定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点()fxI 0xI()yfx处的切线与直线 及 x 轴所围成的区域的面积为 4，且 ，求 的表0(, 002()f达式 .【考点】微分方程【难易度】【详解】如下图：0x处的切线方程为 l： 00()()yfxfxl与 轴的交点为： 时， 0()f，则 00()fABx，因此， 0011()()422fxSABf.即满足微分方程： 218y，解得：8xcy.又因 (0)2，所以 1，故 84yx.17、 （本题满分 10 分）已知函数 ，曲线 ，求 在曲线 上的最大方向xyxf),( 3:2yC),(yxfC导数.新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 9【考点】方向导数，条件极值【难易度】【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故 xyxgradf1,),(故 在曲线 上的最大方向导数为 ，其中 满足 ，,C22)1(xyy, 32xy即就求函数 在约束条件 下的最值.22)()(xyz 03构造拉格朗日函数 ,F )()(122xyxy令 可得032)1(xyFyxx)1,()2,(,其中 )2,1(9),2()1,(4),1( zzz综上根据题意可知 在曲线 上的最大方向导数为 .yxfC318、 （本题满分 10 分）()设函数 可导，利用导数定义证明(),uv=()()xxuvx()设函数 可导， 写出 的求导公12,.n12().(),nfuxx()f式.【考点】导数定义【难易度】【详解】 新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 100 ()lim()()( li()xxuvxuvxuxv xvuvxvAAA12 1212 3 121212()() ()()() ()()()nnnnn nfxxuuxuxuxxxxu ()x19、 （本题满分 10 分）已知曲线 的方程为 起点为 ，终点为 ，计算曲线L2,zyx(0,)A(0,)B积分 22()()LIyddxdz【考点】曲线积分的计算【难易度】【详解】曲线 的参数方程为 从 到Lcos,2in,xyz222()()()LIyzdxdxdz 2222 32 220sincosisincos(sin)1iii12sinsin ddd 新东方在线考研 http:/kaoyan.koolearn.com 网络课堂电子教材系列 1120、 （本题满分 11 分）设向量组 是 3 维向量空间 的一个基， ， ，12,3A132k2。3()k（）证明向量组 是 的一个基；123,（）当 k 为何值时，存在非零向量 在基 与基 下的坐标相同，并求出所有123,123,的 。【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】【详解】 （） 123(,)12301(,)k因为 ，2040211kk所以 线性无关， 是 的一个基。123,123,A（）设 ， 为从基 到基 的过渡矩阵，又设 在基0PkP123,123,下的坐标为 ，则 在基 下的坐标为 ，123,123(,)Tx123, 1Px由 ，得 ，即xP0PEx由 ，得 ，并解得 为任意常数。012Ekk 10