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环的同态基本定理(1) 是环, 是它的理想,则 到商环 有满同态 ,RSRSSa:,a称为 到 的自然同态;(2) , 是环, 是环 到环 的满同态,令 ,则商环 与环RR KerKR同构证明(1) ,baSbaSba , S1故 保持加法和乘法,且把单位元映成单位元,它是同态又,RaSRa即 是满同态(2)首先,作为像集合 这是因为 中任一元 在 下的像为零,KKk则akaK0由此有 到 的映射R RS aKa又 b Kbaa ,Kb Kaa ,K,RRK11故 是 到 的环同态又 到 的环的满同态 ,只看 与 的加法群KR R结构是加法群的满同态而 是加法群同态的核由群的同态基本定理,er是 到 的加法群同构,即 是双射故 是环同构 例 11 是域, 是 上多项式环, 是 的非零理想,则有非零多项FxFNxF式 ,使 xmxmN证明取 中次数最低的多项式为 ,任取 ,作除法算式xf,rxqf这里 或 若 ,则 由于 是理0xrmxr0xmN想, ,又 ,故NqfNxqfxr这与 是 中最低次数多项式矛盾,因此 , 这就证xm0rxqmf明了 FN例 12 只有零元的理想和自身两个理想Mn证明设 是 的非零理想记 为第 行第 列的元为 1,其余位置上元ijej为零的 上 方阵回忆有性质F.,0,iseljijls当当上任意 方阵 ,可写成FnijaA现设 ,则有 ,某 , 于是njiijeaA1, N00ikalknji lkkijlikl NeeAe1,对任 , ,作 ,则 于是任意ijijkjlilkeae1 NijNbenjiijinjiji 1,1,这就证明了 FMn模同态基本定理设 是 模 到 模 的一个模同态,则由 诱导出模同构R , ,使 , N: kerxNM证明设 为 到 的一个模同态,则其核 是 的一个子模,同态象M ker是 的一个子模 ,规定 erxN:,M于是 即为 到 的一个同构映射这是因为:1)若 ,则NM Nyx,使 , ,故nnyxynynx,即在 之下, 的每一个元在 中有唯一的象,从而 是映射;2)NM, , ,由 的定义知 ,故 是满MxxxxNx射;3) 若 ,则 ,于是yy, Nyxxxxx 00故 为单射;) 为 到 的模同态事实上NMRaNyx,有 yxNyxaxNxa Nxa因此, 为 到 的模同构,即NMMN其中 为 的核ker参考文献16 胡庆平,李丹,胡志刚系统间的一类联系同态与同构J昭通师范高等专科学校学报,2002,24(5):511
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