1习题答案第一章1-1 已知质点运动学方程分量式为2xt6y（1）求轨道方程，并画出轨迹图；（2）求 到 之间的 ， 和 ；（本题中 ，t2rvx的单位是 ， 的单位是 ， 的单位为 。 ） ymtsv1sm答案 （1） ， （2） ， ， .6x6ij026ij（1）由质点在水平方向、竖直方向的位置-时间函数关系：xt26y消去 ，得轨道方程为t2xy轨迹为抛物线，如题 1-1 图所示。（2）将质点的位矢分量式：2xt6y代入位矢 ，可得质点的位置矢量 。()()txtrij 2(6)ttrij代入时间参量 ，得质点在某一时刻的位置 。r由质点位移和平均速度的定义，可求得21r21rtrv1-2 如图 1-2 所示，一足球运动员在正对球门前 处以 的初速率罚任5.0m12.s意球，已知球门高为 。若要在垂直于球门竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应3.4m/x/ymO1r2v2题 1-1 图2在与地面成什么角度的范围内踢出足球（足球可视为质点）？答案 ， .17.69.217.89以踢球点为坐标原点取平面坐标系 。xOy按高中物理，设斜抛小球初速度 ，斜抛仰角 ，0v0写出小球水平方向、竖直方向的位置-时间函数关系：（1）0cosxvt（2）21inygt消去 得足球的轨迹方程 t 020tacosxxv依题意以 ， 及 代入后，可解得25.0xm1.vs3.4my17692。.8.1-3 一质点在 平面内运动，在某一时刻它的位置矢量 ，经xy (45)mrij后，其位移 。求：（1）此时刻的位矢；（2）在 时间内质点的5st(6)mrij t平均速度。答案 （1） ， （2） .(3)ij8()/s5ij（1）设此时刻质点的位置矢量为 ，由质点位移的定义 ，(xyrij r可得质点在此时刻的位置矢量r（2）将时间间隔 代入质点的平均速度公式 ，可得质点在 时t trvt间内的平均速度。1-4 质点在半径为 的圆周上以角速度 （ ， 为周期）做匀速率圆周运RT2动，试用笛卡儿坐标系表示其运动方程的速度及加速度。答案 ， .sincosttjcosinRttjxyO123.4m5.0题 1-2 图3ORanxytr取如图所示笛卡尔坐标系 ， 、 分别表示轨道的切向与法向单位矢xOyn量。令笛卡尔坐标系 的原点与圆心 重合。设 时质点的坐标为 ，0txR。质点沿圆周逆时针方向运动，则在笛卡尔坐标 0y系中质点的运动方程可表示为 ()cosxtRt iny将以上两式代入质点运动学方程：可得()xtyrij()cosintRttrj这就是笛卡尔坐标系下质点运动学方程的矢量式。根据 ，将运动学方程对 求导，则速度在两个坐标轴上的分量为dtrvtsinxdvRttcoy于是 ()sistttvj继续求导，得加速度在两个坐标轴上的分量为22cosxdaRtt22iny tt故 2()cosiRttaj1-5 当物体以较低速度通过流体（气体或液体）时，假定粘滞力可以表示成 ，kFv试求：（1）物体竖直自由下落后的极限速度（极大速度） ；（2）在物体竖直自由下落过程中速度随时间的变化规律；（3）在物体竖直自由下落过程中位置随时间的变化规律。答案（1） ， （2） ， （3） .()mgFk(1)ktmve()ktmxvte4mgFkv物体在流体中自由沉降时受到重力 、浮力 和粘滞力 的作用，如图mgFkv所示，动力学方程为 （1）()mkgFva取竖直向下为 正方向，释放点为坐标原点，写出式（1）x的分量形式为 （2）dvgFkt（1）极限速度就是速度不会再发生变化的极大速度，也就是在沉降中合力等于零时的速度。在物体刚开始运动时，因速度 ，作0v用于物体上的合力最大，物体加速度也最大，它使物体的速度增加。随着 的增加，阻力在减小，合力在减小，加速度也在减小，直到 增加到 时，合力vm减小为零，物体的速度也就达到了极限值，这就是极限速度。此时（3）0mgFkv所以 （4）()（2）求物体下落时，速度随时间的变化规律。由式（4）求出 代入式F（2）有 （5）()mdvkt分离变量后，得 （6）m根据初始条件，两边求定积分得lnmvkt从而 （7）(1)kte（3）求物体自由下落时的位移随时间的变化规律。对式（7）直接积分求得。000(1)()kkt txttmmdvedvte1-6 如图 1-6 所示，有一高速运动的带电粒子（ ）沿竖直vc=方向向上运动，初速为 ，从某时刻 开始，粒子受到沿水平方0v0tm()tFxyO题 1-6 图5向向右、随时间成正比增大的电场力 的作用， 是已知的常量，粒子质量为 。0ftFi0f m试求粒子的运动轨道。答案 .330026fftxymv将带电粒子看作质点，对于高速运动的微粒，可不计它受到的重力，粒子在水平方向的运动方程为 0xaft力 是随时间变化的力，粒子的加速度也随时间变化，要进一步从加速度求速F度和位移，就必须采用积分方法。用 代入动力学方程，整理后得xdvat0xftvdm按 ，初速度 ，两边取定积分0tx00xvtf得 2xftm再用 代入上式，整理后得xdvt20ftdx选 时粒子所在位置为坐标原点，利用初始条件，对上式两边取定积分0t200xtfdm就可求出330026fftxt由于不计高速运动微粒的重力，利用 ，最后求得粒子的轨道方程：0yvt330026fftxm6OxyAvBv题 1-7 图1-7 如图 1-7 所示，质量为 的小球在向心力作用下，在m水平面内作半径为 的匀速率圆周运动，速率为 ，自 点逆RvA时针运动到 点的半周内，试问：B（1）小球动量变化多少？（2）向心力的平均值是多大？方向如何？ 答案 （1） ，方向 ；（2） .mvy2mvRj（1）以小球为研究对象，分析它在水平面内只受向心力，建立如题 1-7 图所示的 坐标系，则 、 二态的动量及其变化量可表示为分量式，即xOyAB()(2mvjmjvjPv上式表明，动量变化不为零，而是大小为 ，其方向沿 轴反方向。y（2）根据质点动量定理，可表示为平均力的形式，即tIFP故向心力的平均值为2mvtRj1-8 力 作用在质量 的物体上，使物体质点由静止开始运动，求：12(N)Fikg(1)头 内该力的冲量；3s(2) 末物体的速度。答案 ， .54i17msi(1)根据冲量定义 ，计算该力的冲量，变力不能直接从 的积分dtIFdtIF号中提出。 (2)再由质点初、末状态动量 、 ，应用质点动量定理有0vm(因 )22I0v可得 v71-9 绳的上端固定于 点（见图 1-9（a） ） ，下M端挂一质量为 的质点。质点以速率 在水平面内mv作半径为 的圆周运动。求作用在质点上的重力 、r W拉力 及合力 在半个周期（图中的 点至 点）FAB中的冲量。答案 ， ， .rvW2grmvik2i质点做圆周运动的周期 ，半个周期为2r由于重力 是个恒力，在计算冲量时可以从积分号内提出，因此重力的冲W量20rdtvWI它的大小为 ，方向与 相同，即垂直向下。WIrmgv绳的拉力 以及合力 则与重力 不同。尽管他们的大小是常量（F， ） ，但方向随时在变，因此， 和 都是变力，不cosgtF能再从积分号中提出，即, 2FI2I为了求 和 的冲量，先将拉力 分解为垂直分量 和圆平面上的分量F zF，即rzrF其中 （即 ）coszmgzgFkW（即 ）inrtr则 的冲量为zF2 0zzrgdtvWFkIzFI再如题 1-9 图（b）所示，在圆平面上取直角坐标系 ，令 与 轴的夹xOyrFy角为 ，则WMAromFO(a) (b)题 1-9 图xyAdB8 (sinco)rxrymgtFj又 2dtd所以 rv于是， 的冲量为rF200(sinco)rrFmgtrddvI j0cotvi由于 ，所以rF2rFmgtvvIii最后，将 和 合成 ，得zFIr。 2zrFFrvIIik1-10 在 轴线上运动的物体，速度为 ，作用力大小为x21(46)mst，并沿 轴方向，试求在 至 期间，力 对物体所做的功。(3)NFt1st25tF答案 .128J变力做功，根据功的定义 求解。力不能直接从积分2211()()xtWFtdvt号中提出，要先积分后求解。1- 11 如图 1-11 所示，一物体平放在倾角为 的长斜面上，斜面与物体间的摩擦因数为 ，当我们沿斜面向上给物体以冲量，使物体在 点产生初速度 时，问物体是否可能返回P0v点？如果可能的话，返回至 点时的速度 等于多少？v答案 能， .0sincosv物体从最高点的静止状态能够下滑的条件是： 大于 。inmgcosg因物体在沿斜面上升过程中，重力和摩擦力都做负功，正压力恒不做功，PQ0v0vxFNmg题 1-11 图9所以，物体的动能一定是逐渐减少，直至为零，这时速度也为零，物体达到最高点 。在这之后，它从最高点的静止状态能否下滑，取决于斜面的倾角，只Q有 大于 时，物体才能下滑。即 大于 ，作用于物体的合tgsinmgcosg力沿斜面向下。在下滑过程中，合力的功大于零，即物体的动能将会由零逐渐增加，物体的速度越来越大，物体也就一定能回到出发点 。P设物体可以上升到最高点 ， ，根据动能定理，从 到 有QPxQ201sincosAmgxmv解得 。20(i)v物体从 至最高点 ，再回至 点的整个运动过程中，运动路径为 （它PQP2x与摩擦力的功有关） ，位移为零（它说明重力所做总功为零） 。根据动能定理，有22012cosAmgxvm将 代入上式，便可解得物体返至 点时的速率为xP0sinscov显然，由于物体在往返运动过程中，只有摩擦力做负功，所以总动能一定减少，。0v习题 1-12 如图 1-12 所示，求质点作直线运动时的角动量。答案 ， .0ALOmgRtz一个质量为 的质点，当由 点自由下落时，若以 为参考点，AA释放时为计时零点， 图 1-13并且不计空气阻力，则