从2009国赛B题 眼科病床的合理安排说起。,从1500到1931年的432年间，每年爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据如下:,在概率论中，大家对泊松分布产生的一般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战争次数分布X近似泊松分布.,现在的问题是：上面的数据能否证实X 具有泊松分布的假设是正确的？,又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按秒记录下来.,问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？,再如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的.,为检验骰子是否均匀, 要把骰子实地投掷若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.,也就是说，在投掷中，出现1点，2点，6点的概率都应是1/6.,得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？,问题是：,现实生活中的许多数据都是随机产生的，如考试分数、月降雨量、灯泡寿命等。从数理统计角度来看，这些数据其实都是符合某种分布的，这种规律就是统计规律。,本专题的主要目的是：熟悉Matlab相关命令；熟悉各种常见分布的概率密度函数及其曲线，会利用数据分布的形态猜测其分布类型；能够对密度函数进行参数估计；进行简单的假设检验（以正态检验为主）。,内容提纲,1.Matlab相关命令介绍2.常见概率分布3.频数直方图与频数表4.参数估计5.假设检验,Matlab相关命令,最值：max(x), min(x)(1) max(X)：返回向量X的最大值，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。(2) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。(3) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。(4) max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。,数据统计处理基本命令,Matlab相关命令,求和： (1) sum(X)，返回向量X各元素的和。(2) sum(A) ，返回一个行向量，其第i个元素是 A的第i列的元素和。(3)sum(A,dim) ，当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。乘积：(1) prod(X) ，返回向量X各元素的乘积。(2) prod (A) , 返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列元素的乘积。(3) prod(A,dim) ，当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之乘积。,数据统计处理基本命令,Matlab相关命令,累加和与累乘积 在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。,数据统计处理基本命令,Matlab相关命令,相关系数 MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。,数据统计处理基本命令,Matlab相关命令,排序 MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为： Y,I=sort(A,dim) 其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。,数据统计处理基本命令,Matlab相关命令,类似的用法，请自己借助matlab在线帮助功能自己了解：中位数：median(x)标准差：std(x) 方差：var(x)偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x),数据统计处理基本命令,偏度和峰度的说明,Matlab相关命令,例 生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=sqrt(3)*randn(10000,5)+4;M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X),数据统计处理基本命令,Matlab相关命令介绍,pdf 概率密度函数,y=pdf(name,x,A),y=pdf(name,x,A,B) 或 y=pdf(name,x,A,B,C),返回由 name 指定的单参数分布的概率密度，x为样本数据,name 用来指定分布类型，其取值可以是： beta、bino、chi2、exp、ev、f 、 gam、gev、gp、geo、hyge、logn、 nbin、ncf、nct、ncx2、norm、 poiss、rayl、t、unif、unid、wbl。,返回由 name 指定的双参数或三参数分布的概率密度,常见的概率分布,Matlab相关命令介绍,例：,x=-8:0.1:8;y=pdf(norm,x,0,1);y1=pdf(norm,x,1,2);plot(x,y,x,y1,:),注：,y=pdf(norm,x,0,1),y=normpdf(x,0,1),相类似地，,y=pdf(beta,x,A,B),y=betapdf(x,A,B),y=pdf(bino,x,N,p),y=binopdf(x,N,p), ,概率密度函数,【例】绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形x=0:0.1:30;y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,:)hold on,【例】 绘制标准正态分布的概率密度图.x=-4:0.1:4;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y)title(N(0,1)的概率密度曲线图),累积分布函数(cdf),【例】 求服从标准正态分布的随机变量落在区间2, 2上的概率. P=normcdf (-2, 2)ans = 0.0228 0.9772 P(2)-P(1)ans = 0.9545,累积分布函数(cdf), u_alpha=norminv(0.9,0,1) u_alpha = 1.2816 t_alpha=tinv(0.25,4) t_alpha = -0.7407 F_alpha=finv(0.1,14,10) F_alpha = 0.4772 X2_alpha=chi2inv(0.025,50) X2_alpha = 32.3574,累积分布函数(cdf),连续分布：正态分布,正态分布（连续分布）,如果随机变量 X 的密度函数为：,则称 X 服从正态分布。记做：,标准正态分布：N (0, 1),正态分布也称高斯分布，是概率论中最重要的一个分布。,如果一个变量是大量微小、独立的随机因素的叠加，那么它一定满足正态分布。如测量误差、产品质量、月降雨量等,正态分布举例,x=-8:0.1:8;y=normpdf(x,0,1);y1=normpdf(x,1,2);plot(x,y,x,y1,:),例：标准正态分布和非标准正态分布密度函数图形,连续分布：均匀分布,均匀分布（连续分布）,如果随机变量 X 的密度函数为：,则称 X 服从均匀分布。记做：,均匀分布在实际中经常使用，譬如一个半径为 r 的汽车轮胎，因为轮胎上的任一点接触地面的可能性是相同的，所以轮胎圆周接触地面的位置 X 是服从 0,2r 上的均匀分布。,连续分布：指数分布,指数分布（连续分布）,如果随机变量 X 的密度函数为：,则称 X 服从参数为 的指数分布。记做：,在实际应用问题中，等待某特定事物发生所需要的时间往往服从指数分布。如某些元件的寿命；随机服务系统中的服务时间；动物的寿命等都常常假定服从指数分布。,指数分布具有无记忆性：,指数分布举例,x=0:0.1:30;y=exppdf(x,4);plot(x,y),例： =4 时的指数分布密度函数图,离散分布：几何分布,几何分布是一种常见的离散分布,在贝努里实验中，每次试验成功的概率为 p，设试验进行到第 次才出现成功，则 的分布满足：,其右端项是几何级数 的一般项，于是人们称它为几何分布。,x=0:30; y=geopdf(x,0.5); plot(x,y),例： p=0.5 时的几何分布密度函数图,离散分布：二项式分布,二项式分布属于离散分布,如果随机变量 X 的分布列为：,则称这种分布为二项式分布。记做：,x=0:50;y=binopdf(x,500,0.05);plot(x,y),例： n=500，p=0.05 时的二项式分布密度函数图,离散分布： Poisson 分布,泊松分布也属于离散分布，是1837年由发个数学家 Poisson 首次提出，其概率分布列为：,记做：,泊松分布是一种常用的离散分布，它与单位时间（或单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系。如：单位时间内，电话总机接到用户呼唤次数；1 平方米内，玻璃上的气泡数等。,Poisson 分布举例,x=0:50;y=poisspdf(x,25);plot(x,y),例： =25 时的泊松分布密度函数图,离散分布：均匀分布,如果随机变量 X 的分布列为：,则称这种分布为离散均匀分布。记做：,n=20;x=1:n;y=unidpdf(x,n);plot(x,y,o-),例： n=20 时的离散均匀分布密度函数图,抽样分布： 2分布,设随机变量 X1, X2, , Xn 相互独立，且同服从正态分布 N(0,1)，则称随机变量 n2= X12+X22+ +Xn2服从自由度为 n 的 2 分布，记作 ，亦称随机变量 n2 为 2 变量。,x=0:0.1:20; y=chi2pdf(x,4); plot(x,y),例： n=4 和 n=10 时的 2 分布密度函数图,x=0:0.1:20; y=chi2pdf(x,10); plot(x,y),抽样分布： F 分布,