雅创教育网虎雅心行创未来 1湖南长郡中学 2011 届高三第四次月考数学试题（文科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设 全 集 UR， 集 合 |2Mx， 集 合 N为 函 数 ln(1)yx的定义域， 则()CN等 于 （ ）A |2x B |2xC |1 D |2已知条件 p： a0，条件 q： 2a ，则 p是 q的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3极坐标 cos2和参数方程 )(321为 参 数tyx所表示的图形分别是 （ ）A直线、直线 B直线、圆 C圆、圆 D圆、直线4某企业三月中旬生产 A、 B、C 三种产品共 3000 件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。由于不小心，表格中 A、C 产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10 件，根据以上信息，可得 C 产品的数量是（ ）A900 件 B800 件 C90 件 D80 件5设 m、 n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A若 ， ，则 nB若 ， ，则 mC若 ， ，则 D若 n， ， ，则 6已知双曲线21xyab的一条渐近线方程为 43yx，则双曲线的离心率为 （ ）雅创教育网虎雅心行创未来 2输出 a开始结束输出 b输入 ,abc是是输出 c?c且b否否A 53 B 213C 54 D 727设 a0，b0，若 是 4a与 2b的等比中项，则21的最小值为 （ ）A B8 C9 D108已知点 C 为抛物线 )0(2pxy的准线与 x轴的交点，点 F 为焦点，点 A、B 是抛物线上的两个点。若 A，则向量 F与 的夹角为 （ ）A 32 B 43 C 65 D 2二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分把答案填在答题卡对应题号后的横线上。9若复数 2(3)(1zmi是纯虚数，则实数 m的值为 10用 0.618法选取试点过程中，如果试验区间为 2,4，则第二试点 2x应选在 处11在区间1,9上随机取 一实数，则该实数在区间4,7上的概率为 12阅读右边的流程图：设 10.2()4a， 4log1b，12c，则输出的数（用字母表示）是 13一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 侧侧侧侧侧侧12222侧侧侧211雅创教育网虎雅心行创未来 314在 ABC中， 32,1,cos.4BC1） 则 sinA= ；2） A= 15设 nS是数列 na的前 项和，若 2(*)nSN是非零常数，则称数列 na为“和等比数列”。1）若数列 2nb是首项为 2 ，公比为 4 的等比数列，则数列 nb （填“是”或“不是”） “和等比数列” ； 2）若数列 nc是首项为 1c ，公差为 (0)d的等差数列，且数列 nc是“和等比数列”，则d与 1之间满足的关系为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分 12 分）已知向量 )2cos,4in(xm， )3,4(cosxn，函数 nmxf)( （）求 )xf的最小正周期；（）若 0，求 )(xf的最大值和最小值17（本小题满分 12 分）已知某单位有 50 名职工，从中按系统抽样抽取 10 名职工，分别统计这 10 名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示。（）求该样本 的方 差；（）从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工，求体重为 76 公斤的职工被抽取到的概率。18（本小题满分 12 分）如图所示，在棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E、F、H 分别是棱 BB1、CC 1、DD 1 的中点。（）求证：BH/平面 A1EFD1；（）求直线 AF 与平面 A1EFD1 所成的角的正弦值。7685 92 5 7 0 3 6 8 91雅创教育网虎雅心行创未来 4(天 )t销售利润（单位：元/件）yO 3060 40(天 )ty 日销售量（单位：万件）O 2060 40（1） （2）19（本小题满分 13 分）某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品 A上市销售 40 天内全部售完，该公司对第一批产品 A上市后的市场销售进行调研，结果如图（1）、（2）所示其中（1）的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；（2）的折线表示的是每件产品 A的销售利润与上市时间的关系（）写出市场的日销售量 ()ft与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式；（）第一批产品 A 上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少？20（本小题满分 13 分）已知椭圆 C： )0b(12ayx的左、右顶点的坐标分别为 )0,2(A, (B，离心率12e。（）求椭圆 C 的方程：（）设椭圆的两焦点分别为 1F, 2，点 P 是其上的动点，（1）当 21PF内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（2）若直线 :()0lykx与椭圆交于 M、 N两点，证明直线 AM与直线 BN的交点在直线 4上。21（本小题满分 13 分）已知函数 2,ln)(,0,)2() xbcxgbxeafx 且是函数 )(xfy的极值点。（I）求实数 a 的值，并确定实数 m 的取值范围，使得函数 mf)(有两个零点；雅创教育网虎雅心行创未来 5（II）是否存在这样的直线 l，同时满足： l是函数 )(xfy的图象在点 )2(,f处的切线 l与函数 )(xgy 的图象相切于点 ,(10exP，如果存在，求实数 b 的取值范围；不存在，请说明理由。雅创教育网虎雅心行创未来 6参考答案14 814； 2315是 1dc15解： 1）数列 2nb是首项为 2 ，公比为 4 的等比数列，所以 1224nbn，2nb。设数列 n的前 项和为 nT，则 2， 24nT，所以 24nT，因此 nb为“ 和等比数列”。2）设数列 nc的前 项和为 nR，且 2nk（ 为常数，且 0k）。因为数列 n是等差数列，所以 1()ncd， 21(2)nnRcd12(2)ncdRk对于 *N都成立，得 1(4)()0k，所以 1(4)02kdc。由 0d得 4k， 12dc，所求 d与 1c之间的关系为 12dc16解：（） 2cos34sin)( xxf2os3inx )3in(-4 分x的最小正周期 T - -6 分（） 06532，当 23x， 即 3x时， )(xf有最大值 2；雅创教育网虎雅心行创未来 7当 6532x，即 x时， )(xf有最小值 1 -12 分17（） 因为 10 名职工的平均体重为 71)59627987081( 3 分所以样本方差为： 2)452( 22222S6 分（）从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工，共有 10 种不同的取法：（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81），（79，81） 10 分故所求概率为 .52104)(AP 12 分18（）证明：连结 D1E， 111,/.2BDHBD11111/, , ,BEHAFAEF即 四 边 形 为 平 行 四 边 形平 面 平 面/.D平 面6 分（）解：过 A 作 AGA1E，垂足为 G。A1D1平面 A1ABB1， 1BA1D1AG，E又AG平面 A1EFD1。连结 FG，则AFG 为所求的角。9 分112, ,55, .1023, ,445sin.1AGBaaCAFG 在 中 分连 结 则 =即直线 AF 与平面 A1EFD1 所成的角的正弦值为 45.1 12 分19解：（）设 2()0)6fta，由 (0)f可知 320a即 33()20ft t4)tN，；5 分雅创教育网虎雅心行创未来 8（）设销售利润为 ()gt万元，则 )403(69120)430)(62(0)(2 tttttg8 分当 34t时， gt单调递减；且 (gt的最大值为 27)g当 0时， 29()410，易知 )在 8(0,3单增， (,30)单减，而 tN，故比较(26)7g，经计算， 683.274.1，故第一批产品 A 上市后的第 27 天这家公司日销售利润最大，最大利润是 284.1万元13 分20解：（）椭圆 E的方程2143xy3 分（）（1） |F|21，设 21边上的高为 h， hF21S2P设 2P的内切圆的 半径为 R，因为 21的周长为定值 6来源:学| 科|网所以 21FPS36R 5 分当 P 在椭圆上顶点时， h最大为 3，故 21FS的最大值为 ，于是 R也随之最大值为 3此时内切圆圆心的坐标为 ),0(7 分（2）将直线 :(1)lykx代入椭圆 E的方程2143xy并整理得 222(34)8430设直线 l与椭圆 E的 C 交点 12(,)(,)MxyN，由根系数的关系，得 12122843,3kk 9 分yxOF1 F2A BP雅创教育网虎雅心行创未来 9直线 AM的方程为： 1(2)yx，它与直线 4x的交点坐标为16(4,),2ypx同理可求得直线 BN与直线 的交点坐标为 2(,)yQx11 分下面证明 P、 Q两点重合，即证明 P、 Q两点的纵坐标相等：12(),(1)ykxykx， 22112166()()kx22121212834085()()kkxxx因此结论成立综上可知直线 AM与直线 BN的交点住直线 4上 13 分21解：（I） xeaxf)2(),0时 xeaeaxf 2)1(2() 2由已知， , ,02,0)1(2 e得 a=1 2 分所以 ,)(),02xxf时 xeeef )2() 令 )2( 舍 去得 xx当 0时所以，当 )2,0(x时， )(xf单调递减， )0,2()exf