乐山师范学院级毕业论文（设计）经典力学与量子力学中的一维谐振子物理与电子信息工程学院 物理学 摘要一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。关键词 谐振子 经典力学 量子力学 运动方程 能量分布1 前言所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为 的轻质弹簧的一k端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为 的物体，就构成一个弹簧振m子 1。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。乐山师范学院级毕业论文（设计）2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。一个劲度系数为 的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动k的质量为 的物体，就构成一个弹簧振子 1，如图 2.1。当弹簧处于自然长度m时，物体处于平衡位置，取作坐标原点，以 表示。沿弹簧长度方向（取作O轴方向）拉动物体然后释放，则物体将在 点两侧作往复运动。x图 2.1 弹簧振子2.1 一维谐振子的运动方程图 2.1 中的物体可视为一个质点。设 代表质点相对于平衡位置的位移，x则质点所受的力 ，其中 为劲度系数。负号表示 与位移方向相反，因kxFF而总是指向平衡位置。由牛顿第二定律，谐振子的运动微分方程为： kxm即 02x（2.1.1）这是一个二阶的常系数线性微分方程。令mk（2.1.2）即简谐运动的角频率，由振动系统本身的性质嗦决定。将（2.1.2）式代入（2.1.1）式，则可求出（2.1.1）式的通解：iwtitNeMtx)(（2.1.3）乐山师范学院级毕业论文（设计）)sin(tA这就是谐振子的运动方程 2。其中 M 和 N 是任意常数，由质点的初位置和初速度确定。A 是振幅， 是初相位。 （2.1.3）式表明质点应作简谐振动 2。2.2 一维谐振子的能量在谐振子问题中，振子的总能量可以反映出振子的运动特征。因此我们可以从谐振子的动能和势能出发，求解谐振子的总能量，进而帮助我们分析振子的运动特征。由（2.1.3）式可知，振子的速度为： )cos(tAdtxv振子的动能为： )(s21)(212tCmtmEk由（2.1.2）式，有：)(cos2tkAE（2.2.1）由（2.2.1）式可知，振子的动能变化频率为 。振子的势能（以平衡位置的势能为零）为： 201kxFdExp即为：)(sin22tkAxp（2.2.2）由（2.2.2）式可知，振子的势能变化频率也为 。因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的总能量为：21kAEpk（2.2.3）由（2.2.3）式可知：谐振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒 3。（2.2.3）式还说明：对于一定的振子（ 和 给定，因而 给定） ，总能量与mk乐山师范学院级毕业论文（设计）振幅的平方成正比 3。振幅不仅给出了简谐运动的运动范围，而且还反映了振动系统总能量的大小，或者说反映了振动的强度。3 量子力学中的一维谐振子在量子力学中，粒子状态用波函数表示，为了描述微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程，即薛定谔方程。因此下面将从谐振子的哈密顿算符出发，求解振子的定态薛定谔方程，进而分析量子力学中一维谐振子的运动特征。3.1 用运动方程求解的一维谐振子我们可以从谐振子的势能函数出发，写出谐振子的哈密顿算符及薛定谔方程，并求谐振子的能量和定态波函数的解，进而讨论能量分布特点。取谐振子的平衡位置 为坐标原点，并选原点为势能的零点，则有0r。仅考虑一维情况。由于 在 轴方向分振动的谐振子0)(rEp kzjyixrx在 处的势能可以表示为：x21)(Ep（3.1.1）势能曲线是一条定点在原点的抛物线，如图 3.1 所示：图 3.1 一维谐振子的势能一维谐振子的经典哈密顿函数为： 221kxmpH乐山师范学院级毕业论文（设计）设振子的原子质量为 ，则振子的频率为：mk振子的哈密顿算符可以写为： 221xdxH相应的定态薛定谔方程 为：)(E)()(2122 xExmdx（3.1.1）这是一个二阶线性微分方程。如果振子的运动不受限制， 的变化范围为 。当 时，xxx（3.1.1）式的解一般为无穷大，表示振子在无穷远处的几率为无穷大。这不符合物理要求。但若振子的能量 取下列特殊值 4：E)21(n)2,10(n（3.1.2）其中 为普朗克常数， 为经典力学中谐振子的频率。则对每一个 值，方程（3.1.1）都有一个在全区间 中有界的解。而且当 时，这个xx解趋于零。这显然符合对谐振子问题的物理要求。与（3.1.2）式的能量值相应的关于定态波函数的解为：)()(2xHAexnx（3.1.3）其中 ， 是 的一个 次多项式，称为厄米多项式 4。其前四0hkm)(nHEn项为： 1)(02乐山师范学院级毕业论文（设计） 24)(2H1833由于 是 的 次多项式，且 。因此，当 时，)(xHnn0x（3.1.3）式趋于零。由（3.1.2）式知，在量子力学中谐振子的能量是分立的，与振幅无关，只依赖于振子的固有特性-振子的本征频率 。 （3.1.2）式还表明 5，频率为 的振子其能量的改变只能是能量单元 的整数倍。这一点同普朗克的能量子假设是一致的。但量子力学中振子的最低能级（基态能量）不再是零而是 ，称为零点能 5。它充分体现了粒子具有波粒二象性。213.2 坐标表象中的一维谐振子粒子系统的状态用以空间坐标为自变量，以时间为参量的波函数 来描),(tr述，这种表示形式称为坐标表象 6。下面从谐振子的哈密顿算符出发，求解谐振子的能量本征值和定态波函数，并对谐振子在量子力学与经典力学中的几率密度进行比较，给出量子谐振子向经典谐振子过渡的条件。一维谐振子的哈密顿算符为： 221xmdxH坐标表象中，振子的定态薛定谔方程为： )()(21(22 xExdxm引入没有量纲的变量 代替 ，它们的关系是xmE2（3.2.1）以 乘以式（3.1.1） ，利用式（3.1.2）和式（3.1.3） ，薛定谔方程可改写为2乐山师范学院级毕业论文（设计）0)(22d（3.2.2）这是一个变系数的二阶常微分方程。当 很大时， 与 相比可以略去，因而2在 时， （3.2.2）式可以写为： 2d它的解是 。因为波函数的标准条件要求当 时， 应为有限，2e 所以对波函数只取指数上的负号： 。2e根据上面的讨论，我们把 写成如下形式来求（3.2.2）式的解：)()(2He（3.2.3）（3.2.3）式代入（3.2.2）式可得 满足方程：)(H0)1(2Hd（3.2.3）用级数解法，把 展开成 的幂级数，来求着方程的解。这个级数必须只含有H限项，才能在 时使 为有限；而级数只含有限项的条件是 为奇数：)(，12n2,0代入（3.2.1）式即可得谐振子的能级为：， )1(nE2,0（3.2.4）可见,谐振子的能量只能取分立值，两相邻能级间隔均为 ，即：n1乐山师范学院级毕业论文（设计）在坐标表象中可以明显看出：是描述粒子波动性的波函数 受到势能场)(x的约束使能谱分立。与（3.2.4）式定态能量对应的定态波函数： )()(2xHeNxnxnn式中 是归一化常数，它由归一化条件 确定。21)!(Nnn 1)(*dxn图 3.2 中画出了 的几率密度 （图中实线） ，图中虚线是经典3,02n谐振子的平均位置密度。从图 3.2 可见，经典谐振子不能进入 的区域。Ax而量子谐振子能进入这种区域，但进入以后指数衰减。可见，量子振子和经典振子完全不同，但当 增大时， 减小，量子振子向经典振子过渡。nnE图 3.2 一维谐振子的位置几率密度分布3.3 粒子数表象中的谐振子以粒子数算符的本征矢|n为基矢的表象称为占有数表象 7，又叫粒子数表象。我们可以通过引入升降算符求解谐振子，求出谐振子的能量本征值以及坐标算符 和动量算符 的矩阵元。xp一维谐振子的经典哈密顿函数为：乐山师范学院级毕业论文（设计）221kxpH（3.3.1）在量子力学里，谐振子的哈密顿算符具有同一形式：221xpH（3.3.2）将经典泊松括号换成量子泊松括号：1,PBpx1,pxi由 与 的对易关系：xpixx,（3.3.3）定义两个非厄米算符 和 ：a)1(2xpi)1(2xpia（3.3.4）这两个非厄米算符满足如下基本对易关系：1,a（3.3.5）则（3.3.4）式的逆变换关系为：)(2ax（3.3.6） )(2ap利用（3.3.6）式，代入（3.3.2）式，并考虑对易关系（3.3.5） ，哈密顿算符乐山师范学院级毕业论文（设计）又可表示为：)21(aH（3.3.7）由于 与算符 仅仅相差一个常数矩阵，所以只需求解 得本征值问Ha 题。设它的属于本征值为 的本征刃为 ，即：a（3.3.8）由于 是一个右矢的模的平方，是非负数，2()(a因此可得到如下结论：0（3.3.9）即 得本征值为非负数。利用对易关系（3.3.6）可得:a(3.3.10)aaa)1()()(（3.3.10）式表明：若 是的一个本征刃，相应的本征值 ，则也使它的一个本征刃，相应的本征值为 。类似的将算符 作用于本征刃 ，有：1aaa)()(如果 是 的一个本征刃，则 和 对这个本征刃作用后得到的新的右a矢 仍然是 的本征刃，但其本征值增加或减小 1。重复的使用这)(a种作用，可以从某一给定的本征刃出发，得到具有不同本征值的所有本征刃。这种方法即为“阶梯法” 8 。所得到的本征值谱显然是等间距的，间隔为 1。设本征值谱下限为 ，相应的本征刃为 ，即：00 0 a0（3.3.11）由于