1第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)本资料为 WORD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来源课件 5 y kCo m 第二章 二次函数与命题一、基础知识1二次函数：当 0时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c称为关于 x的二次函数，其对称轴为直线 x=- ，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ，下同。2二次函数的性质：当 a0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量 x增大函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0时，方程 f(x)=0即 ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程 有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx2和x|x1xx2，二次函数 f(x)图象与 x轴有两个不同的交点，f(x) 还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）当=0 时，方程 有两个相等的实根 x1=x2=x0= ,不等式和不等式的解集分别是x|x 和空集 ，f(x)的图象与 x轴有唯一公共点。3）当0 时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是 R和 .f(x)图象与 x轴无公共点。当 a0，当 x=x0时，f(x) 取最小值 f(x0)= ,若 a0)，当 x0m, n时，f(x)在 m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n时，f(x) 在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注 1 “p或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，3否则为假命题；p 与“ 非 p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若q则 p；否命题：若非 p则 q；逆否命题：若非 q则非 p。注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p则 q”为真，则记为 p q否则记作 p q.在命题“若 p则 q”中，如果已知 p q,则 p是 q的充分条件；如果 q p，则称 p是 q的必要条件；如果 p q但 q不 p，则称 p是 q的充分非必要条件；如果 p不 q但 p q，则 p称为 q的必要非充分条件；若 p q且 q p，则 p是 q的充要条件。二、方法与例题1待定系数法。例 1 设方程 x2-x+1=0的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1的二次函数 f(x).【解 】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),则由已知 f()=,f()=相减并整理得（-）（+ ）a+b+1=0，因为方程 x2-x+1=0中 0，所以 ，所以(+)a+b+1=0.又 +=1,所以 a+b+1=0.4又因为 f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由 f()=得 a2-(a+1)+2=,所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0.即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。【解 】 因为-4f(1)=a-c-1,所以 1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)= f(2)- f(1),所以 (-1)+ f(3) 5+ 4,所以 -1f(3)20.3利用二次函数的性质。例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a 0)，若方程 f(x)=x无实根，求证：方程 f(f(x)=x也无实根。【证明 】若 a0，因为 f(x)=x无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x图象与 x轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。5所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x无实根。注：请读者思考例 3的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x的两根x1, x2满足 0x1x2 ,（ ）当 x(0, x1)时，求证：xf(x)x1；（ ）设函数 f(x)的图象关于 x=x0对称，求证：x0 【证明 】 因为 x1, x2是方程 f(x)-x=0的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（ ）当 x(0, x1)时，x-x10, x-x20，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+ 0，所以 f(x)x1.综上， xf(x)1，求证：方程的正根比 1小，负根比 -1大。6【证明 】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1 ）上各有一根。即方程的正根比 1小，负根比-1 大。6定义在区间上的二次函数的最值。例 6 当 x取何值时，函数 y= 取最小值？求出这个最小值。【解 】 y=1- ,令 u,则 0u1。y=5u2-u+1=5 ,且当 即 x= 3时，ymin= .例 7 设变量 x满足 x2+bx-x(b-1)，并且 x2+bx的最小值是 ，求 b的值。【解 】 由 x2+bx-x(b-(b+1)，即 b-2时，x2+bx 在0，-(b+1) 上是减函数，所以 x2+bx的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- .综上， b=- .7.一元二次不等式问题的解法。例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a的取值范围。7【解 】 因为方程 x2-x+a-a2=0的两根为 x1=a, x2=1-a,若 a0，则 x1x2. 的解集为 ax1-2a.因为 1-2a1-a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当 0a 时，x1x2, 的解集为ax1-a.因为 0ax1-a 时，a1-a，由得 x1-2a，所以不等式组的解集为 1-ax1且 a-(1-a)3，所以 1a2，并且当 1a2时，不等式组恰有两个整数解0，1 。综上， a的取值范围是 10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有 B0，C0 ，所以必要性成立。再证充分性，若 A0，B0 ，C0 且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若 A=0，则由 B2+C22BC得(B-C)20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9常用结论。定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【证明 】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b| ，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以 |a+b|a|+|b|（注：若 m0，则 -mxm等价于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理 1得证。9定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y (证略)注 定理 2可以推广到 n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题1下列四个命题中属于真命题的是_，“若 x+y=0，则x、y 互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相等 ”的否命题；“若 q1，则 x2+x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。2由上列各组命题构成“p 或 q”， “p且 q”， “非 p”形式的复合命题中，p 或 q为真，p 且 q为假，非 p为真的是_.p；3 是偶数，q：4 是奇数；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:a a,b; p: Q R, q: N=Z.3. 当|x-2|a 时，不等式 |x2-4|0的解是 1x2，则 a, b的值是_.5. x 1且 x 2是 x-1 的_条件，而 -2m0且0n1是关于 x的方程 x2+mx+n=0有两个小于 1的正根的_条件.6.命题“ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_.107.若 S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有 2个，则 m的取值范围是_.8. R为全集，A=x|3-x4, B= , 则(CRA)B=_.9. 设 a, b是整数，集合 A=(x,y)|(x-a)2+3b6y，点（2，1）A，但点（1，0 ） A， （3，2） A则 a,b的值是_