http:/www.zgxzw.com第 1 页 共 11 页2004 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（文史类）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 U=1，2，3，4，5，A=1，3，5，B=2，3，5，则 （AB）等于（ ）A1，2，4 B4 C3，5 D2 的值是 （ 15cottan）A2 B2+ 3 C4 D 343命题 p：若 a、bR，则| a|+|b|1 是| a+b|1 的充要条件；命题 q：函数 y= 2|1x的定义域是（，1 3，+ ).则 （ ）A “p 或 q”为假 B “p 且 q”为真 Cp 真 q 假 Dp 假 q 真4已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A 3 B 3 C 2 D 235设 Sn是等差数列 的前 n 项和，若 （ a5935,Sa则）A1 B1 C2 D 216已知 m、n 是不重合的直线，、 是不重合的平面，有下列命题：若 m，n，则 mn； 若 m，m，则；若 =n，mn，则 m 且 m； 若 m，m，则.其中真命题的个数是 （ ）A0 B1 C2 D37已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f1(x)，则函数 y= f1(1 x)的图象是 （ ） http:/www.zgxzw.com第 2 页 共 11 页8已知 a、b 是非零向量且满足( a2b) a，(b2 a) b，则 a 与 b 的夹角是 （ ）A 6 B 3 C 3 D 659已知 展开式中常数项为 1120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和8)(x是（ ）A2 8 B3 8 C1 或 38 D1 或 2810如图，A、B、C 是表面积为 48 的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O 为球心，则直线OA 与截面 ABC 所成的角是（ ）Aarcsin 63Barccos 63Carcsin Darccos11定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x3，4时， f(x)= x2，则 （ ）A f(sin )f(cos )213C f(sin1)f(cos )212如图，B 地在 A 地的正东方向 4 km 处，C地在 B 地的北偏东 30方向 2 km 处，河流的沿岸 PQ（曲线）上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km，现要在曲线 PQ 上任意选一处 M 建一座码头，向 B、C 两地转运货物，经测算，从 M 到 B、C 两地修建公路的费用都是 a 万元/km、那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A( 7+1)a 万元 B(2 72) a 万元C2 a 万元 D( 1) a 万元 http:/www.zgxzw.com第 3 页 共 11 页图 1第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置.13直线 x+2y=0 被曲线 x2+y26 x2y15=0 所截得的弦长等于 .14设函数 则实数 a 的取值范围是 .)(.0(1,)(afxf 若15一个总体中有 100 个个体，随机编号 0，1，2，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同，若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是 .16图 1，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图 2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）设函数 f(x)=ab，其中向量 a=(2cosx，1)，b=(cos x， 3sin2x)， xR.（）若 f(x)=1 3且 x ， 3，求 x；（）若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m，n)(|m|0.仅当 n4 时，B nAn.答：至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.21. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分 12 分.解：（）把 x=2 代入 ，得 y=2， 点 P 坐标为（2，2）.21xy http:/www.zgxzw.com第 9 页 共 11 页由 ， 得 ， 过点 P 的切线的斜率 k 切 =2，21xyxy直线 l 的斜率 kl= 切 = 直线 l 的方程为 y2= 21(x2)，,21即 x+2y6=0.（）设 .),(200xyP则 过点 P 的切线斜率 k 初 =x0，当 x0=0 时不合题意， 直线 l 的斜率 kl= 切1= ，.0x 0直线 l 的方程为 ).(200xxy方法一：联立消去 y，得 x2+ x x022=0. 设 Q ).,(,(1yxMM 是 PQ 的中点， .121)(1,202000 xxyx消去 x0，得 y=x2+ (x0)就是所求的轨迹方程.由 x0 知 .12121, 222 xy上式等号仅当 时成立，所以点 M 到 x 轴的最短距离是,42x即 .12方法二：设 Q 则).,(,(1yMx由 y0= 2x02，y 1= x12， x= ,10 y 0y 1= x02 x12= (x0+x1)(x0 x1)=x(x0 x1)， ,010kl,0 http:/www.zgxzw.com第 10 页 共 11 页将上式代入并整理，得 y= x2+ (x0)就是所求的轨迹方程.1由 x0 知 .12,0222 y上式等号仅当 时成立，所以点 M 到 x 轴的最短距离是1,142x即 .1222本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.解：（） f (x)=4+2 f(x)在1，1上是增函数，,2xa f (x)0 对 x1，1恒成立，即 x2 ax20 对 x1，1恒成立. 设 (x)=x2 ax2，方法一：(1)=1 a20， 1 a1，(1)=1+ a20.对 x1，1，只有当 a=1 时， f (-1)=0 以及当 a=1 时， f (1)=0A= a|1 a1.方法二：20， 20 x1， x2是方程 x2 ax2=0 的两非零实根，x1+x2=a， 从而| x1 x2|= 21214)(x= 8a.x1x2=2，1 a1，| x1-x2|= 8a3. http:/www.zgxzw.com第 11 页 共 11 页要使不等式 m2+tm+1| x1 x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，当且仅当 m2+tm+13 对任意 t1，1恒成立，即 m2+tm20 对任意 t1，1恒成立. 设 g(t)=m2+tm2=mt+(m 22)，方法一：g(1)=m 2m20， g(1)=m2+m20，m2 或 m2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1| x1 x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m2.方法二：当 m=0 时，显然不成立；当 m0 时，m0， m0， 或g(1)=m 2m20 g(1)=m 2+m20 m2 或 m2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1| x1 x2|对任意 aA 及 t -1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m2.