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三角形的推理与计算问题【重点考点归纳】一、等腰三角形1、等腰三角形的性质:等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合,简称为 2、等腰三角形的判定:定义法:有两边相等的三角形是等腰三角形有两 相等的三角形是等腰三角形,简称 3 等边三角形的性质:等边三角形的每个内角都 都等于 等边三角形也是 对称图形,它有 条对称轴4 等边三角形的判定:有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角是 度的 三角形是等边三角形二、线段的垂直平分线和角的平分线线段的垂直平分线:1、性质:线段垂直平分线上的点到 得距离相等2、判定:到一条线段两端点距离相等的点在 角的平分线:1、性质:角平分线上的点到 得距离相等2、判定:到角两边距离相等的点在 三、直角三角形:1、勾股定理和它的逆定理:勾股定理:若 一 个直角三角形的两直角边为 a、b 斜边为 c 则 a、b、c 满足 逆定理:若一个三角形的三边 a、b、c 满足 则这个三角形是直角三角形2、直角三角形的性质:(1)直角三角形斜边的中线等于 (2)在直角三角形中如果有一个锐角是 300,那么它就对 边是 边的一半四、全等三角形的性质和判定: 1、性质:全等三角形的 、 分别相等,全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线)周长、面积分别对应 2 判定:(1)、一般三角形的全等判定方法:边角边,简 记为 角边角: 简记为 角角边:简记为 边边边:简记为 (2)、直角三角形的全等还可以用 来判定五、相似三角形的判定1. 两个角对应相等的两个三角形_2. 两边对应成_且夹角相等的两个三角形相似3. 三边对应成比例的两个三角形_相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_,对应角_2. 相似三角形的对应角平分线,对应边的_线,对应边上的_线的比等于_比,周长之比也等于_比,面积比等于_ 考点一全等三角形的证明与计算例 1(2013 菏泽)如图,在ABC 中,AB=CB,ABC=90,D 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 边上,且 BE=BD,连结 AE、DE、DC求证:ABECBD;若 CAE=30,求BDC 的度数反思总结:知识考点:发现全等模型,利用全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,直角三角形两锐角互余思路方法:先根据等腰直角三角形的锐角都是 45求出CAB,再求出 BAE,然后根据全等三角形对应角相等求出BCD ,再根据直角三角形两锐角互余其解即可;举一反三 1(2013 年湖北荆门 )如图 4243(1),在ABC 中,ABAC,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AD 上(1)求证:BECE;(2)若 BE 的延长线交 AC 于点 F,且 BFAC,垂足为 F,如图 4243(2),BAC45,原题设其他条件不变求证:AEFBCF .2、(2013 年辽宁沈阳)如图 4246,在ABC 中,ABBC,BEAC 于点 E,AD BC于点 D,BAD 45 ,AD 与 BE 交于点 F,连接 CF.(1)求证:BF2AE; (2)若 CD ,求 AD 的长2答案(2)2 .2 考点二等腰三角形例 2已知:在ABC 中,A90 ,ABAC,D 为 BC 的中点(1)如图 S14,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 BEAF,求证: DEF 为等腰直角三角形;(2)若 E, F 分别为 AB,CA 延长线上的点,仍有 BEAF,其他条件不变,那么,DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论举一反三1(2012 十堰)如图, O 是等边ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 BO,下列结论: BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60得到; 点 O 与 O的距离为 4;AOB=150;S 四边形AOBO=6+3 ; S AOC +S AOB=6+ 其中正确的结论是()393A B C D考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理 A2、(2013 菏泽) 如图,一次函数 y x2 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A,B ,以线段23AB 为边在第一象限内作等腰 RtABC ,BAC90,求过 B,C 两点直线的解析式 考点三角平分线与“截长补短”例 31 如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,E 为 CD 的中点,连结 AE,BE,BEAE,延长AE 交 BC 的延长线于点 F.求证:(1)FCAD;(2)AB BCAD. 举一反三3、如图,APBC, PAB 的平分线与 CBA 的平分线相交于 E,CE 的延长线交 AP 于D,求证:(1)AB=AD+BC; (2)若 BE=3,AE=4,求四边形 ABCD 的面积?方 法 技 巧角的平分线具有其特有的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用而 “截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,利用此种方法常可使思路豁然开朗掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助考点四 线段垂直平分线4(2012 泰安 8 分)如图,在ABC 中,ABC=45 ,CD AB,BE AC,垂足分别为D,E,F 为 BC 中点,BE 与 DF,DC 分别交于点 G,H,ABE=CBE (1)线段 BH 与 AC 相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由;(2)求证:BG 2GE 2=EA2【考点】全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理。等量代换,转化思想【思路】(1)根据三角形的内角和定理求出BCD=ABC,ABE=DCA ,推出DB=CD,根据 ASA 证出DBHDCA 即可。(2)连接 CG,根据 DB=DC 和 F 为 BC 中点,得出 DF 垂直平分 BC,推出BG=CG,根据 BEAC 和ABE=CBE 得出 AE=CE,在 RtCGE 中,由勾股定理即可推出答案。举一反三 4(2011 济南,28,9 分)如图,点 C 为线段 AB 上任意一点(不与 A、 B 重合),分别以 AC、 BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰 ACD 和等腰BCE,CA=CD,CB=CE,ACD 与BCE 都是锐角且 ACD=BCE,连接 AE 交 CD 于点M,连接 BD 交 CE 于点 N,AE 与 BD 交于点 P,连接 PC(1)求证:ACEDCB;(2)请你判断AMC 与DMP 的形状有何关系并说明理由;(3)求证:APC =BPC 考点五相似三角形的证明与计算例 5(2013 泰安)如图,四边形 ABCD 中,AC 平分DAB, ADC=ACB=90,E 为AB 的中点,(1)求证:AC 2=ABAD;(2)求证:CEAD;(3)若 AD=4,AB=6,求 的值反思总结:知识考点:发现相似模型,利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的斜边上的中线性质思路方法:(1)由 AC 平分DAB,ADC=ACB=90,可证得ADCACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得 AC2=ABAD;PNM EDC BA第 28 题图(2)由 E 为 AB 的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE= AB=AE,继而可证得DAC=ECA,得到 CEAD;(3)易证得AFD CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 的值举一反三 5(2012 泰安 10 分)如图,E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点,EF AE ,EF 分别交 AC,CD 于点 M,F ,BGAC,垂足为 C,BG 交 AE 于点 H(1)求证:ABEECF;(2)找出与ABH 相似的三角形,并证明;(3)若 E 是 BC 中点,BC=2AB,AB=2,求 EM 的长【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。答案:(2)ABHECM。(3)作 MRBC,AB=BE=EC=2,EM= 。MR2sin45
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