1数学学业水平复习知识点第一章 集合与简易逻辑1、 集合 （1） 、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用 。（2） 、集合的表示法：列举法（） 、描述法（） 、图示法（） ；（3） 、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作 ， 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集） ；（4） 、元素 a 和集合 A 之间的关系： a A， 或 a A；（5） 、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N ；整数集： Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。2、子集 （1） 、定义：A 中的任何元素都属于 B，则 A 叫 B 的子集 ；记作：A B，注意：A B 时，A 有两种情况：A 与 A（2） 、性质：、 ；、若 ，则 ；、若 则 A=B ；, C, A,3、真子集 （1） 、定义：A 是 B 的子集 ，且 B 中至少有一个元素不属于 A；记作： ；B（2） 、性质：、 ；、若 ，则 ；A, ,4、补集、定义：记作： ；,|xUCU且、性质： ； ACAAU）（， 5、交集与并集（1） 、交集： |BxB且性质：、 、若 ，则A, AAB（2） 、并集： |x或性质：、 、若 ，则, 6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）ACUABBA2判别式：=b 2-4ac 000二次函数 )0()(2acxxf的图象一元二次方程的根)0(2acbxa有两相异实数根 )(,212x有两相等实数根 abx21没有实数根一元二次不等式的解集)(2 |x“”取两边 |R一元二次不等式的解集)0(2acbxa|21x“”取中间 不等式解集的边界值是相应方程的解含参数的不等式 ax b xc0 恒成立问题 含参不等式 ax b xc0 的解集是 R；22其解答分 a0(验证 bxc0 是否恒成立)、a0（a1 01 0”取两边,“”取两边,“，或|F1F2|）的点的轨迹。平面内到两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于定值2a（01)的点的轨迹。平面内到定点 F 和定直线 L的距离相等的点的轨迹。即：平面内到定点 F 和定直线 L 的距离之比为常数e(e=1)的点的轨迹。标准方程图象 xy0F1F2xy0F1F2xyF)0(12bayx )0,(12bax )0(2px20圆 锥 曲 线 的 几 何 性 质渐 近 线离 心 率准 线对 称 轴顶 点焦 点抛 物 线双 曲 线椭 圆曲 线图 象 ),0(),(ba)0,(a)0,(2c 2),bcp)1,(ace ),1(ace 1exbyx轴 ， y轴 x轴x2 2pxxyFxyF1 F2 xyF1 F2由双曲线求渐进线： xabyyabaxbyax 22201由渐进线求双曲线： 2220xbxy2、求离心率 ：方法一：用 的定义 ；法二：得到与 有关的方程，解方程，求 ；eeacca、 ac（离心率 与 的关系可以互相表示：椭圆 ，双曲线 ）cba、 21e21be3、直线和圆锥曲线的位置关系：（1） 、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法（基本思路）消元一元二次方程判别式 （方程的思想）（2） 、求弦长的方法： 求交点，利用两点间距离公式求弦长；弦长公式（3） 、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差弦的斜率与中点的关系；圆 锥 曲 线 方 程直 线 方 程联 立 ） （ 消 ） （ 消 xyykyk yxxxl 4)(1(|1 212222 21（弦的中点与弦的斜率可以相互表示）（4） 、与双曲线只有一个交点的直线：一相切，二与渐近线平行与抛物线只有一个交点的直线：一相切，二与对称轴平行4、圆锥曲线的最值问题：（1） 、利用第二定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离求最值；（2） 、结合曲线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值；在 上的点常设 ，在 上的点常设pxy2),2(yppyx2)2,(px（3） 、利用数形结合求最值；基本思路：与直线平行，与曲线相切.（椭圆中，长轴是最长的弦；双曲线中，实轴是最短的弦。 ）第九章 直线 平面 简单的几何体1、 平面的性质：公理 1：如果有一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。（两平面相交，只有一条交线） 且lPlP公理 3：不在同一直线上的三点确定一个平面。(强调“不共线”)（三个推论：1、直线和直线外一点，2、两条相交直线，3、两条平行直线，确定一个平面）空间图形的平面表示方法：斜二测画法（水平长不变，竖直长减半）2、 两条直线的位置关系：平行，相交，异面：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线（1） 、异面直线判断方法：定义，判定：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直线 （两在两不在）（2） 、两条直线垂直：两条异面直线所成的角是直角，这两条直线互相垂直垂直相交（共面） 、异面垂直，都叫两条直线互相垂直（3） 、空间平行直线：公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行。3、直线与平面的位置关系： 直线在平面内直线在平面外 直线与平面相交，记作 a =A直线与平面平行，记作 a/4、直线与平面平行：定义：直线和平面没有公共点。aPaa/aAa =AlAB22（1） 、判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 （线线平行 线面平行） mll/,且/l（2） 、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 （线面平行 线线平行） l,/ l/5、两个平面平行：定义：两个平面没有公共点。（1） 、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （线面平行 面面平行）推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。（2） 、性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行 线线平行）两个平面平行，其中一个平面内的直线，平行于另一个平面；（面面平行 线面平行）夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。平行间的相互转化关系：线线平行 线面平行 面面平行6、直线和平面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条直线都垂直，叫直线和平面垂直。 （常用于证明线线垂直：线面垂直 线线垂直）（1） 、判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线和这个平面垂直。（线线垂直 线面垂直）（2） 、性质定理：过一点和已知平面垂直的直线只有一条，过一点和已知直线垂直的平面只有一条。如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。（3）正射影：自一点 P 向平面 引垂线，垂足 P叫点 P 在 内的正射影（简称射影）斜线在平面内的射影：过斜线上斜足外一点，作平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影。（4）三垂线定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直。逆定理：在平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线的射影垂直。7、两个平面垂直：定义：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。lmPO AaaCB EA D23（1） 、判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （线面垂直 面面垂直）（2） 、性质定理：两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面。（面面垂直 线面垂直）垂直间的相互转化关系：线线垂直 线面垂直 面面垂直8、空间向量：在空间具有大小和方向的量，空间任意两个向量都可用同一平面内的有向线段表示。（1） 、共线向量定理：空间任意两个向量 ， （ ） ， / （ ）ab0abR空间直线的向量参数表达式（P 在面 MAB 内的充要条件）：或 （ 叫直线 AB 的方向向量）atOAOBtABtAP)1(当 时，点 P 是线段 AB 的中点，则21 )(21P（2） 、共面向量定理：两个向量 ， 不共线，则向量 与 ， 共面 （ ）abpabbyaxpR,平面的向量表达式（P 在面 MAB 内的充要条件）： 或MByAxMBAOPO 为空间任一点，当 且 时，P、A、B、C 四点共面。OCzByAxOP1z（3） 、空间向量基本定理：如果三个向量 、 、 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个的唯一有abcp序实数组 x， y， z， 使 ， ， ， 叫基底， 、 、 叫基向量。zyxpabc如果三个向量 、 、 不共面，那么空间向量组成的集合为 。abc ,|Rzyxyxp（4） 、两个向量的数量积： ，向量 的模| |：ba,cos| a2|向量 在单位向量 方向的正射影是一个向量，即 ， e eae,cos| b0（5） 、 共线向量或平行向量：所在的直线平行或重合的向量； 直线的方向向量：和直线平行的向量；共面向量：平行于同一平面的向量； 平面的法向量：和平面垂直的向量。法向量的求法：设是 平行于平面的两个不共线向量，),(),(321321ba是平面的法向量，则： 。),(zyxn0n9、 空间直角坐标系：单位正交基底常用 来表示。 （如图）,kji（1，0，0） （0，1，0） （0，0，1）其中：ij， ， ， ， ， ，222kjiki0jABP aOyxz241、空间向量的坐标运算：设 ， ，则),(321a),(321b（1） ；（2） ；,(321baba ),321baa（3） （ ） ；),()3132 R（4） （即 ） ；a21,bab321b（5） 00321（6） ； | | |cos ， 321baba aba = cos ， 2321 231bab由此可以得出：两个向量的夹角公式 cos ， ab2321321当 cosa、b1 时，a 与 b 同向；当 cosa、b1 时，a 与 b 反向；当 cosa、b0 时，ab在空间直角坐标系中，已知点 ， ，),(1zyxA),(2zyxB),(12212zyxABA、B 两点间的距离公式： 112 )zdB、A、 B 中点 M 坐标公式： )(O2,(2yx10、角（1） 、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相同。（2） 、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的公式： ；21coscos（3） 、角的范围：、异面直线所成的角的范围： 0两条直线所成的角的范围： 2两个向量所成的角的范围： 、斜线与平面所成的角的范围： 0直线与平面所成的角的范围：