1简单的线性规划本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来源 课件 5Y k J.Com 7.4 简单的线性规划知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（ x0，y0）.B0 时， Ax0+By0+C0，则点 P（x0，y0）在直线的上方；Ax0+By0+C0，则点 P（x0，y0）在直线的下方 .对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C 0（或0） ，无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数.当 B0 时，Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域.22.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域） ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量 x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数 z=f（x ，y ） ；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域） ；（5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x，y）=t （t 为参数） ；（6）观察图形，找到直线 f（x ，y ）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域 x+y0内B.点（0，0）在区域 x+y+12x 内D.点（0，1）在区域 xy+10 内解析：将（0，0）代入 x+y0，成立.3答案： A2.（2005 年海淀区期末练习题）设动点坐标（ x，y）满足（xy+1） （x+y4）0，x3， A. B. C. D.10解析：数形结合可知当 x=3，y=1 时，x2+y2 的最小值为 10.答案： D2xy+10，x2y 10，x+y1 A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合 C，不对；将（ ， ）代入不等式组适合 D，不对；又知 2xy+1=0 与 x2y1=0 关于y=x 对称且所夹顶角 满足tan= = . .答案： B4.点（ 2，t ）在直线 2x3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是_.4解析：（2，t ）在 2x3y+6=0 的上方，则 2（2）3t+60，解得 t .答案： t 5.不等式组 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_个.解析：（1，1） ， （1，2 ） ， （2，1 ） ，共 3 个.答案： 3典例剖析【例 1】 求不等式x 1 +y1 2 表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.解： x1+ y12 可化为x1， x1， x1， x1，y1， y1， y1， y1，x+y 4 xy 2 yx 2 x+y0.其平面区域如图.面积 S= 44=8.评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.深化拓展 若再求： ； 的值域，你会做吗？5答案： （， ，+） ； 1，5.【例 2】 某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速 v n mile/h（4v20）从 A 港出发到距 50 n mile 的 B 港去，然后乘汽车以匀速 w km/h（30w100）自 B 港向距 300 km 的 C 市驶去. 应该在同一天下午 4 至 9 点到达 C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 x h、 y h.（1）作图表示满足上述条件的 x、y 范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3（5x）+2（8y ） （元） ，那么 v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由 p=100+3（5x）+2（8y）可知影响花费的是3x+2y 的取值范围.解：（ 1）依题意得 v= ，w= ，4v20，30w100.3x10， y . 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在 9 至 14 个小时之间，即 9x+y14.因此，满足的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.（2）p=100+3 （5x）+2（8y） ，3x+2y=131p.设 131p=k，那么当 k 最大时，p 最小. 在通过图中的阴影部分6区域（包括边界）且斜率为 的直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点（10，4） ，即当 x=10，y=4 时，p 最小.此时， v=12.5，w=30 ，p 的最小值为 93 元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式. 然后分析要求量的几何意义.【例 3】 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员.此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次.甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆，车队所花成本费为 z元，那么x+y9，106x+68x360，0x4，0y7.z=252x+160y，其中 x、 yN.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.7作出直线 l0：252x+160y=0 ，把直线 l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在 y 轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t 经过点（2，5）时，满足上述要求.此时， z=252x+160y 取得最小值，即 x=2，y=5 时，zmin=2522+1605=1304.答：每天派出甲型车 2 辆，乙型车 5 辆，车队所用成本费最低 .评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 f（x，y）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.闯关训练夯实基础1.（x1）2+ （y1 ）2=1 是x 1 +y11 的_条件.A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案： B2.（x+2y+1） （x y+4）0 表示的平面区域为解析：可转化为x+2y+10， x+2y+10，8xy+40 xy+40.答案： B3.（2004 年全国卷，14）设 x、y 满足约束条件x0，xy，2x y1，则 z=3x+2y 的最大值是_.解析：如图，当 x=y=1 时，zmax=5.答案： 5x4y+30，3x+5y250， x1， _.解析：作出可行域，如图.当把 z 看作常数时，它表示直线 y=zx的斜率，因此，当直线 y=zx 过点 A 时，z 最大；当直线 y=zx 过点B 时，z 最小x1，3x 5y25 0，得 A（1， ）.x4y+3=0，3x+5y25=0， zmax ，zmin 9答案： 5.画出以 A（3，1） 、B（1，1 ） 、C（1 ，3）为顶点的ABC的区域（包括各边） ，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式 不等式组； 求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点 A、B、C，则直线 AB、BC、CA 所围成的区域为所求ABC 区域.直线 AB 的方程为 x+2y1=0，BC 及 CA 的直线方程分别为xy+2=0，2x+y5=0. 在ABC 内取一点 P（1 ，1） ，分别代入x+2y1 ，xy+2 ，2x+y 5 得x+2y10，x y+20，2x+y50.因此所求区域的不等式组为x+2y10，xy+20，2x+y50.作平行于直线 3x2y=0 的直线系 3x 2y=t（t 为参数） ，即平移直线 y= x，观察图形可知：当直线 y= x t 过 A（3，1 ）时，纵截距 t 最小. 此时 t 最大，tmax=33 2 （1）=11；10当直线 y= x t 经过点 B（1 ，1）时，纵截距 t 最大，此时 t 有最小值为 tmin= 3（1）21=5.因此，函数 z=3x2y 在约束条件x+2y10，xy+20，2x+y506.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g 含蛋白质 6个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0.5 元，米食每 100 g 含蛋白质 3个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0.4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食 x（百克） ，米食 y（百克） ，所需费用为 S=0.5x+0.4y，且 x、y 满足6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由图可知，直线 y= x+ S 过 A（ ， ）时，纵截距 S 最小，即 S 最小.故每盒盒饭为面食 百克，米食 百克时既科学又费用最少.培养能力117.配制 A、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一剂 B 种药需甲料 5 mg，乙料 4 mg.今有甲料 20 mg，乙料 25 mg，若 A、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设 A、B 两种药分别配 x、y 剂（x 、yN） ，则x1，y1，3x+5y20，5x+4y25.上述不等式组的解集是以直线 x=1，y=1，3x+5y=20 及5x+4y=25 为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1） 、（1，2） 、 （1，3） 、 （2，1 ） 、 （2，2 ） 、 （3，1） 、 （3，2） 、 （4 ，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有 8 种不同的配制方法8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资 金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成 本 3020300劳动力（工资）51011012单位利润 68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台，总利润是 P，则 P=6x+8y，由题意有30x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y 均为整数.由图知直线 y= x+ P 过 M（4 ，9）时，纵截距最大.这时 P 也取最大值 Pmax=6