1.3.1 线段的垂直平分线（教案）教学目标(一)教学知识点1经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理2能够利用尺规作已知线段的垂直平分线(二)思维训练要求1经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力2体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神3学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果(三)情感与价值观要求1能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲2在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心教学重点1能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论2能够利用尺规作已知线段的垂直平分线教学难点写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它教具准备多媒体演示、直尺、圆规教学过程创设现实情境，引入新课教师用多媒体演示：如图，A、B 表示两个仓库，要在 A、 B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？生 码头应建在线段 AB 的垂直平分线与在 A，B 一侧的河岸边的交点上师同学们认同他的看法吗？生是的师认为对的说说你的理由是什么呢？生（回忆定理） 我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成师（边说边用折纸的方法再现定理）这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？教师演示线段垂直平分线的性质：定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等讲述新课第一部分 线段垂直平分线的性质定理师我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它那么如何证明呢？师（引导）问题一：要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等” ，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？（强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质 （开始让学生有这样的数学思想）你能根据定理画图并写出已知和求证吗？谁能帮老师分析一下证明思路？生（思考回答） 师生共析已知：如图，直线 MNAB，垂足是 C，且 ACBC，P 是 MN 上的点求证：PAPB分析：要想证明 PAPB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等证明：MNAB，PCAPCB90ACBC，PCPC，PCAPCB( SAS)PAPB(全等三角形的对应边相等)第二部分 线段垂直平分线的判定定理教师用多媒体完整演示证明过程同时，用多媒体呈现：想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？师（引导、并提问两学生）问题二：这个命题是否属于“如果那么”的形式？你能分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式吗？最后再把它的逆命题写出来生 A（思考分析） 原命题的条件是 “有一个点是线段垂直平分线上的点 ”结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”师有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来生 B如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上师很好，能否把它描述得更简捷呢？生 B到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上师good! 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明请同学们类比原命题自己独立写出已知、求证（给学生思考空间）已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PAPB求证：P 点在 AB 的垂直平分线上（分组讨论，鼓励学生多想证明方法，并派代表上黑板写写本组的证明过程）师看学生的具体情况，做适当的引导证法一：证明：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PCPAPB，PCPC，RtPAC RtPBC(HL 定理)ACBC，即 P 点在 AB 的垂直平分线上证法二：证明：取 AB 的中点 C，过 PC 作直线APBP，PCPC，AC CB，APCBPC( SSS)PCAPCB( 全等三角形的对应角相等)又PCAPCB180，PCAPCB90，即 PCABP 点在 AB 的垂直平分线上证法三：证明：过 P 点作APB 的角平分线APBP，12，PC PC，APCBPC( SAS)ACDC ，PCAPCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)又PCAPCB180，PCA PCB90P 点在线段 AB 的垂直平分线上师先肯定学生的思考，再对证明过程严谨的小组加以表扬，不足的加以点评和纠正。师从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理到现在我们已经学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，下面小试牛刀教师多媒体演示：P26 随堂练习（抢答）：如图：已知 AB 是线段 CD 的垂直平分线，E是 AB 上的一点，如果 EC=7cm，那么ED=_cm，如果ECD 60,那么EDC_（让学生说出理由）第三部分 用尺规作线段垂直平分线答对了上面的题，咱们来轻松一下，一起来欣赏一组美丽的数学图。教师多媒体演示：做一做用尺规作线段的垂直平分线师（边演示图边讲讲作图有关的数学史）大家知道这些图是用什么工具作出来的吗？（资料：古希腊以来，平面几何中的作图工具习惯上限用直尺和圆规两种.其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.作图工具的这种限制，最先大概是恩诺皮德斯(Oenopides，约公元前465 年) 提出的，以后又经过柏拉图(Plato，公元前 427347)大力提倡.柏拉图非常重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维能力的特殊作用，主张对作图工具要有限制，反对使用其他机械工具作图.之后，欧几里得(Euclid，约公元前330275)又把它总结在几何原本一书中。于是，限用尺规进行作图就成为古希腊几何学的金科玉律。）师其实同学们也能用圆规、直尺画出优美的图形，下面咱们就一起来学用尺规作线段的垂直平分线。（分析：要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线）类似于证明题要写出已知、求证和证明，作图题也要根据条件写出已知、求作和作法，下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据教师示范，请学生同时练习已知：线段 AB(如图)求作：线段 AB 的垂直平分线作法：1分别以点 A 和 B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和 D22作直线 CD直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线师根据上面作法中的步骤，请你说明 CD 为什么是 AB 的垂直平分线吗？请与同伴进行交流生从作法的第一步可知ACBC，ADBDC、 D 都在 AB 的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)CD 就是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)师我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段 AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点随堂练习解决引例（假如要把码头的具体位置准确的画出来，你会画了吗？）看时间是否允许，可让学生完成 P27 试一试，同桌之间相互检查批改，加深理解。课时小结本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线课后作业习题 16 第 1、3 题