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15.5 解斜三角形 课时闯关(含答案解析)一、选择题 1(2011高考浙江卷)在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.若acos A bsin B,则 sin Acos Acos 2B()A B.12 12C1 D1解析:选 D. acos A bsin B,sin Acos Asin Bsin B,即 sin Acos Asin 2B0,sin Acos A(1cos 2B)0,sin Acos Acos 2B1.2(2011高考辽宁卷) ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, asin Asin B bcos2A a,则 ()2baA2 B23 2C. D.3 2解析:选 D. asin Asin B bcos2A a,2sin Asin Asin Bsin Bcos2A sin A,2sin B sin A, .2ba sin Bsin A 23(2011高考天津卷)如图,在 ABC 中, D 是边 AC 上的点,且AB AD,2AB BD, BC2 BD,则 sin C 的值为()3A. B.33 36C. D.63 66解析:选 D.设 AB a, AD a, BD a,23BC2 BD a,cos A ,43 AB2 AD2 BD22ABAD 2a2 43a22a2 13sin A .1 cos2A223由正弦定理知 sin C sin A .ABBC 34 223 664在 ABC 中, a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边,已知 b2 c(b2 c),若a , cos A ,则 ABC 的面积等于()678A. B.17 15C. D3152解析:选 C.由 b2 c(b2 c), b2 bc2 c20,即( b c)(b2 c)0,所以 b2 c.2又 a ,cos A ,6b2 c2 a22bc 78解得 c2, b4.所以 S ABC bcsin A 42 .12 12 1 78 2 1525(2013福州模拟)在 ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 的对边,若 a, b, c 成等比数列, A60,则 ()bsin BcA. B.12 32C. D.22 34解析:选 B.由正弦定理可得 sin B ,从而 ,又因为bsin Aa bsin Bc b2sin Aacb2 ac,可知结果是 sin Asin 60 .32二、填空题6(2012高考重庆卷)设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 cos A ,cos B , b3,则 c_.35 513解析:在 ABC 中,cos A 0,sin A .35 45cos B 0,sin B .513 1213sin Csin( A B)sin( A B)sin Acos Bcos Asin B .45 513 35 1213 5665由正弦定理知 , c .bsin B csin C bsin Csin B356651213 145答案:1457(2011高考上海卷)在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标点 C,若 CAB75, CBA60,则 A、 C 两点之间的距离为_千米解析:如图所示,由题意知 C45,由正弦定理得 ,ACsin 60 2sin 45 AC .222 32 6答案: 68(2011高考四川卷改编)在 ABC 中,sin 2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C,则 A 的取值范围是_3解析:在 ABC 中,由正弦定理可得 sin A ,sin B ,sin C (其中 R 为a2R b2R c2RABC 外接圆的半径),由 sin2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C 可得 a2 b2 c2 bc,即 b2 c2 a2 bc,cos A ,b2 c2 a22bc 120 A . 3答案: (0, 3三、解答题9设 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c,且 3b23 c23 a24 bc.2(1)求 sin A 的值;(2)求 的值2sin A 4 sin B C 41 cos 2A解:(1)由已知及余弦定理得 cos A .b2 c2 a22bc 223又 0A,故 sin A .1 cos2A13(2)原式2sin A 4 sin A 41 cos 2A2sin A 4 sin A 42sin2A2 22sin A 22cos A 22sin A 22cos A2sin2A .sin2A cos2A2sin2A 7210在 ABC 中,cos A .35(1)求 cos2 sin( B C)的值;A(2)若 ABC 的面积为 4, AB2,求 BC 的长解:由 cos A 得 sin A .35 45(1)cos2 sin( B C) sin A0.A 1 cos A2(2)由 ABACsin A4, AB2, AC5,12又 BC2 AB2 AC22 ABACcos A17, BC .1711(探究选做)已知 ABC 的内角 A, B 及其对边 a, b 满足 a b acot A bcot B,求内角 C.解:法一: a b acot A bcot B,且 2 R(R 为 ABC 的外接圆半径),asin A bsin Bsin Asin Bcos Acos B.4sin Acos Acos Bsin B.1sin 2 A1sin 2 B.sin 2 Asin 2 B0.又 sin 2Asin 2 B2cos( A B)sin(A B),cos( A B)sin(A B)0,cos( A B)0 或 sin(A B)0.又 A、 B 为三角形的内角, A B 或 A B. 2当 A B 时, C ; 2 2当 A B 时,由已知得 cot A1, A B , C . 4 2综上可知,内角 C . 2法二:由 a b acot A bcot B 及正弦定理,得sin Asin Bcos Acos B,sin Acos Acos Bsin B,从而 sin Acos cos Asin cos Bsin sin Bcos , 4 4 4 4sin(A )sin( B), 4 4又 0A B,故 A B, 4 4 A B , C . 2 2
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