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第34卷第l1期2015年11月 数学教学研究 利用高等数学知识观点简解高考压轴题 杨瑞强 (湖北省黄石市第一中学435000) 随着高中数学新课程先后引进了微积 分、坐标变换等选修知识之后,初等数学知识 与高等数学知识的联系越来越紧密,致使一 些高考数学试题或以高等数学知识为背景, 或体现高等数学中常用的数学思想方法和推 理方法由于高考的选拔功能,参与高考命题 的专家也越来越重视初、高等数学知识在此 处的衔接,这类题往往倍受命题者青睐近年 来的考题中,出现了不少背景新、设问巧的高 观点题,成为高考题中一道亮丽的风景下面 以近年来出现的高考试题为例,阐述利用高 等数学知识的观点简解几类高考压轴题的方 法 1利用洛必达法则。处理恒成立问题 例1(2011年全国新课标理科第21 题)已知函数,曲线 一厂( )在点(1,厂(1) 处的切线方程为X+2 一3一O (I)求a,b的值; ()如果当z0,且 1时, (z) + ,求是的取值范围 解(I)a-1,b_-1 ()由题设可得,当zO,z1时,忌o, 1),则 g )一2 , 再令 |ll(z)一( 。+1)In z。+1 ( O,z1),则 h ( )-2xln + 一 , ( )=21n x-l- , 易知ffl(X)=21n x+l一去在(o,+。)上为 增函数,且 (1)一0故当X(O,1)时, (x)G0,当 (1,+)时, (z)0 所以h )在(O,1)上为减函数,在(1, +。)上为增函数,故h ( ) (1)一0, (z)在(O,+。)上为增函数,又因为 (1)一 0,所以 当 (O,1)时,h(z)GO,当 (1, +。o)时, (z)0; 当 (0,1)时,g ( )G0,当 (1, +。o)时,g )O 于是g( )在(O,1)上为减函数,在(1, +。o)上为增函数 由洛必达法则知 lira( )-2 li +l +1 j +1lz。 :2 lim +1 =2X(一熹_)+1=0 所以走O,即是的取值范围为(一。,O 收稿日期:2015-06-17 作者简介:杨瑞强(1979一),男。湖北黄冈人,中学一级教师,黄石市优秀班主任,主要从事数学教育与中学教学研究 E-mail:yrq2003163com 数学教学研究 第34卷第11期2015年11月 评析对恒成立问题中的求参数取值范 围的问题,首先考虑采用参变分离法,但有些 题中的求分离出来的函数式的最值不容易, 此时若利用洛必达法则可以较好的处理它的 最值,是一种值得借鉴的方法 2利用定积分。简证(解)数列不等式 例2(2013年湖北理科第22题)设 是正整数,r为正有理数 (I)求函数厂( )一(1+ )斗 一(r+1) 一1( -1)的最小值; ()证明: l二 0,r为正有理数, 则g ( ) rxr- O,从而g( )在(O,+) 上是增函数 由定积分的概念知, I,g(x)dx 一厂(咒) 下面我们介绍两种方法证明(1)式成 立 法1 设函数 厂( )一再1 J(xO), 则函数,(z)单调递减,如图1所示,每个小 矩形的面积小于小曲边梯形的面积,即 rf ,( )1 0 X南出 I 出 J 十l 一 如 一 一ln(n+1), 结诊盲辖得 图2 评析 本题借助定积分的几何意义充 分挖掘不等式左右两边的几何意义,通过构 造函数利用定积分的几何意义来解决问题 因此,有些数列和型不等式若利用定积分的 几何意义证明,则可达到以简驭繁、以形助数 的解题效果 3 利用凸函数的性质。简证相关不等式 例4(2012年湖北理科第22题)(I) 已知函数,(z)一rx一 +(1一r)(zO), 其中r为有理数,且00), 1 则 g ( )一 , 36 数学教学研究 第34卷第l1期2015年l1月 (z)一一 O(i一1,2, ),且b1+6z+b, 一1,根据加权的琴生 不等式,可以得到 ” r 1 bfg(z )gl6 i=1 L i=1 J 即b In口 Inbia , 从而 ln(an n ) ln(albl+a2b2+a b ), 即 口2t口当。n alb1+a2b2+a b 评析加权的琴生(Jensen)不等式:对 于(口,6)内的上凸函数,若m=1,则 f=1 r 、 af(x )f Jaix l, i=1 L i=1 J 当且仅当 一 。一=Xn时等号成立利 用高等数学背景下的加权的琴生不等式简正 此题,构造恰当的函数是前提,求二阶导数判 断函数的凸性是手段,应用加权的琴生不等 式是关键 4利用伸缩变换,巧解椭圆问题 例6(2015年山东理科第2O题)平面 直角坐标系 0 中,已知椭圆c: a2 - b21 (n6o)的离心率是等,左、右焦点分别是 F1,F2以F1为圆心以3为半径的圆与以F2 为圆心1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上 (I)求椭圆C的方程 ()设椭圆E:番+苏一1为椭圆c上 任意一点,过点P的直线y一是 +m交椭圆E 于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q 求 的值; (ii)求ABQ面积的最大值 解(I)椭圆C的方程为 + 一1 (12)在伸缩变换r:_ 2下,椭圆c l f=一 【3, 一 变为单位圆C :37 + 一1,椭圆E变为单 位圆E : + 一4,原坐标系下的点A,B, P,Q,0依次变为新坐标系下的点A ,B , P ,Q ,0,如图3 (i)根据伸缩变换的性质,有 一 :垦一2 丽一 一 一z (ii)由(j)知,SA 一3 frO,设 到直线A B 的距离为d,则 Saa8ry一告IA,B 1d 一去24一 。d 一_(dz)z q_4d 一 一( 。-2) +4, 其中d60,1,当 =1时,根据伸缩变换的 性质,有 SABQ=abs ,B 一2 B 6 , 即(S脚) 一6 一 一 图3 例7(2015年湖北理科第21题)一种 作图工具如图4所示O是滑槽AB的中点, 短杆ON可绕0转动,长杆MN通过N处 铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽 第34卷第l1期2015年11月 数学教学研究 37 AB滑动,且DN=ON一1,MN=3当栓子 D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O 转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔 尖画出的曲线记为C以0为原点,AB所在 的直线为 轴建立如图5所示的平面直角坐 标系 (I)求曲线C的方程; ()设动直线 与两定直线z : 一2 = 0和lz: +2y=O分别交于P,Q两点若直 线z总与曲线C有且只有一个公共点,试探 究:oPQ的面积是否存在最小值?若存 在,求出该最小值;若不存在,说明理由 y 入 J 图4 图5 解(I)所求的曲线C的方程为 生+ :1 l64 f ,一詈, ()在伸缩变换r: 下,椭圆c 【 变为单位圆C : + =1,两定直线z1: 一2 =O和z2: +23,一O依次变换成z 1:37 -y -0和z 2:z + =O,原坐标系下的点 P,Q,0依次变为新坐标系下的点P ,Q, ,如图6,图7 若直线z总与椭圆C有且只有一个公共 点,则z与椭圆C相切,即PQ与椭圆C相 切,从而P,Q 与圆c 相切, Sam,cl一专JP,Q Id一告lP,Q I, 根据图形观察可知,当切点在圆与坐标 轴交点处时(图8),l P Q I取得最小值,且 lP Q l -2,此时 1 SAap一去x12=1 根据伸缩变换的性质,有 S0PQ=abSzxae($=SSaapc18, 即(Sa )fIli =8 故当直线1与椭圆C在4个顶点处相切 时,kOPQ的面积取得最小值8 。、 厂 r j ,j 图6 | y j Q, 、 图7 图8 评析在研究直线与椭圆的位置关系的 问题时(如面积问题、平行问题、斜率问题 等),利用伸缩变换将椭圆转化为圆后,往往 可以避免联立方程组这一繁琐的程序,而将 问题转化到直线与圆的位置关系这一大家非 常熟悉的问题中来,使得原来隐于椭圆内的 一些几何关系,得以显性化然后可以利用圆 的有关性质加以解决,这样不但避免了大量 而繁琐的运算,而且思路也十分流畅 纵观高考压轴题中的导数题和解析几何 题,许多题都有一定的高等数学背景,其内容 在初等数学与高等数学的衔接点上,是一块 重要知识,所蕴含是解题方法既可以是高中 知识,又可以借鉴高等数学知识因此,我们 必须重视高中数学选修系列中初等数学与高 等数学衔接处的主干知识的学习与挖掘
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