1.5 事件的独立性与贝努利概型,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,一、事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,1、两事件的独立性,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)= P(B)P(A|B) =P(A) P(B),若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.,两事件独立的定义,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）,注意互斥与独立的区别,互斥指的是事件不可能同时发生。,独立指事件的发生互不影响，但并不表示事件不可能同时发生,问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,这两个事件就是 S和,P( S) =P( )P(S)=0,与S独立且互斥,不难发现， 与任何事件都独立.,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请大家做个小练习.,=P(A)1- P(B)= P(A) P( ),= P(A)- P(AB),P(A ),A、B独立,故A与 独立 .,= P(A)- P(A) P(B),证明: 仅证A与 独立,由定义容易证明定理 若两事件A、B独立，则,也相互独立.,2、多个事件的独立性,将两事件独立的定义推广到三个事件：,若只有前三个等式成立，则称事件 A、B、C 两两独立.,注：,对独立事件，许多概率计算可得到简化：,3、独立性的概念在计算概率中的应用,设事件 相互独立,则,P(A1 An),乘法公式,加法公式,解：,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,所求为 P( ),例3 设系统由 A、B、C三个独立工作的元件组成，如图， 它们损坏的概率分别为0.3，0.2，0.2. 求系统损坏的概率.,解,二、伯努利试验概型,伯努利 Jacob Bernoulli 1654-1705 瑞士数学家,概率论的奠基人,伯努利 (Jacob Bernoulli )简介,伯努利家族祖孙三代出过十多位数学家. 这在世界数学史上绝无仅有.,伯努利幼年遵从父亲意见学神学,当读了 R 笛 卡尔的书后,顿受启发,兴趣转向数学.,1694年,首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.,n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为,且,n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型：,则,例4 一大楼装有5个同类型的独立供水设备，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻,（1）恰有两个设备被使用的概率；,解,（2）至少有三个设备被使用的概率；,（3）至少有一个设备被使用的概率；,