高等教育自学考试本科生毕业论文函数最值问题的求解方法专 业： 数 学 教 育 准考证号： 070105100111 姓 名： 徐 妍 婕 指导教师： 翟 昌 盛 完成时间： 2013 年 11 月 25 日 高等教育自学考试本科生毕业论文- 2 -函数最值问题的求解方法摘 要 函数最值问题是数学领域中的重要研究内容。它不仅仅只在教学中解决一些数学问题，而且经常运用于解决实际问题。在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题。生活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题。而这些生活和经济问题一般都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究，进而转化为求函数最大（小）值的问题，即为函数的最值探讨，这尤其对研究实际问题的人们来说尤为重要。而函数最值问题的解法包括一元函数和多元函数，同时也有初等与高等解法之分。本文主要通过从初等解法方面对一元函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题. 关键词 函数 最值 高等解法 初等解法 微分高等教育自学考试本科生毕业论文- 3 -目录1 引言 .- 4 -2 求函数最值的几种解法探讨 .- 5 -2.1 判别式法 .- 5 -2.2 配方法 .- 6 -2.3 均值不等式法 .- 6 -2.4 换元法 .- 7 -2.5 三角函数法 .- 8 -2.6 单调性法 .- 9 -2.7 导数法 .- 9 -3 求解函数最值时应注意的一些问题 .- 10 -3.1 注意定义域 .- 10 -3.2 注意值域 .- 11 -3.3 注意参变数的约束条件 .- 12 -3.4 注意对判别式的运用 .- 13 -3.5 注意均值不等式的运用 .- 13 -4 函数最值在实际问题中的应用 .- 15 -4 结论 .- 19 -致谢 .- 20 -参考文献 .- 21 -高等教育自学考试本科生毕业论文- 4 -1 引言函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法函数最值的定义：一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数 在 处的函数值是yfx00fx如果对于定义域内任意 ，不等式 都成立，那么 叫做函数x0fxf0fx的最小值，记作 ；yfxmin0yf如果对于定义域内任意 ，不等式 都成立，那么 叫做函数x0fxf0fx的最大值，记作 . yfxma0yf函数的最值一般有两种特殊情况：（1）如果函数 在 上单调增加(减少)， 则 是 在 上的最小0()fx,b()fafx,ab值( 最大值 )， 是 在 上的最大值(最小值).ba（2）如果连续函数 在区间 内有且仅有一个极大(小) 值，而没有极小(大)值，则此0(fx,极大( 小 )值就是函数在区间 上的最大(小) 值.,高等教育自学考试本科生毕业论文- 5 -2 求函数最值的几种解法探讨2.1 判别式法对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数 出现在一()fx个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件 来0求出 的最值.()fx例. 求函数 的最值.2(0)yaxbc解：因为 ，所以 ， )(2 2()0axbcy+-=而 ，所以有Rx040)(422 aycbycab2babcya402maxin时 ，时 ，所以，当 时， ；0aabcy42min当 时， .当 或 时， （设 ）kx)1(kxmaxy-A例. 求函数 的最大值.sincosicoy=+解：因为 iixx)2sin(2sin1)4co(iixx= )s(2sin1当 时， ；42kxkx max(sin2)1=高等教育自学考试本科生毕业论文- 9 -当 时， )(,4Zkx 1cos)4cos()4cos( kkx即 ，所以，当 时， .1)cos(maxkmax12y=+2.6 单调性法当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值 5例. 设函数 是奇函数，对任意 、 均有关系 ，()fxxyR()()fxyfy若 时， 且 求 在 上的