,知识点；1、什么是惯性空间和惯性参照系2、选择惯性参照系的原则是什么、为什么3、地球的形状如何、4、子午曲率半径，等纬度曲率半径、卯酉曲率半径如何定义和计算5、时间是如何度量6、各种坐标系的定义7、坐标系之间是如何相互转换8、方向余弦阵是如何定义的及作用9、如何通过欧拉角求方向余弦矩阵；10、方向余弦矩阵的微分方程如何建立。,第二章 惯性导航基础知识 第三讲21 惯性空间与惯性参照系21 惯性空间及物体在惯性空间的运动 任何物体的运动和变化都是在空间和时间中进行的。物体的运动或静止及其在空间中的位置，均指它相对另一物体而言，因此在描述物体运动时，必须选定一个或几个物体作为参照物，当物体相对参照物的位置有变化时，就说明物体有了运动。 牛顿定律揭示了在惯性空间中物体的运动和受力之间的基本关系：,注意；牛顿定律描述的运动或静止均是相对于一个特殊的参照系惯性空间。惯性空间是牛顿定律的空间,(1)若物体不受力或受力的合力为零，则物体保持静止或匀速直线运动； (2)若物体受到的合力为F，则该物体将以加速度a相对惯性空间运动：这里m为物体的质量。,212 惯性参照系 1，惯性参照系；惯性空间可理解为宇宙空间，由于宇宙是无限的，要描述相对惯性空间的运动，需要有具体的参照物才有意义。即要在宇宙空间找到不受力或受力的合力为零的物体，它们在惯性空间绝对保持静止或匀速直线运动，以它们为参照物构成的参照系就是惯性参照系。 然而在宇宙中不受力的物体是不存在的，绝对准确的惯性参照系也就找不到。另一方面，在实际的工程问题中，也没有必要寻找绝对准确的惯性参照系。 2，选择惯性参照系原则；惯性导航系统中，用加速度计敏感载体相对惯性空间的加速度信息，用陀螺仪敏感载体的转动运动，加速度计和陀螺仪总会有差，只要选择的惯性参照系的精度远高于加速度计和陀螺仪的量测精度，满足惯性导航的需求即可（为什么）,3，太阳惯性坐标系；在宇宙中，运动加速度较小的星体是质量巨大的恒星，由于恒星之间的距离非常遥远，万有引力对恒星运动的影响也就较小。太阳是我们比较熟悉的恒星，以太阳中心为坐标原点，以指向其他遥远恒星的直线为坐标轴，组成一坐标系，就可以构成一太阳中心惯性参照系。在牛顿时代，人们把太阳中心参照系就看作为惯性坐标系，根据当时的测量水平，牛顿定律是完全成立的。后来才认识到，太阳系还在绕银河系中心运动，只不过运动的角速度极小。银河系本身也处于不断的运动之中，因为银河系之外，还有许多像银河系这样的星系(统称为河外星系)，银河系和河外星系之间也有相互作用力。太阳中心惯性坐标系是一近似的惯性参照系，近似在于忽略了太阳本身的运动加速度。为衡量太阳中心惯性坐标系的精度，给出太阳系绕银河系中心的运动参数如下：,太阳至银河系中心的距离：22X1017km； 太阳绕银河系中心的旋转周期：190x106年； 太阳的运动速度：233kM/s； 太阳绕银河系中心运动的旋转角速度：0001 年； 太阳绕银河系中心运动的向心加速度：24X10-11g(g为地球上的重力加速度)。惯性导航系统中使用的加速度计的最小敏感量可至104g106g。陀螺仪角速度敏感量为0.001/s 由此可见，太阳绕银河系中心运动的旋转角速度和向心加速度是非常小的，远在目前惯性导航系统中使用的惯性元件陀螺仪和加速度计所能测量的最小角速度和加速度的范围之外。因此，分析惯性导航系统时，使用太阳中心惯性坐标系具有足够的精度。,4，地球中心惯性坐标系；是另一种常用的近似惯性参照系。将太阳中心惯性坐标系的坐标原点移到地球中心，就是地球中心惯性坐标系。地球中心惯性坐标系与太阳中心惯性坐标系的差异就在于有少的平移运动加速度。在太阳系中，地球受到的主要作用力是太阳的引力，此外还有月亮的作用力、太阳系其他行星的作用力等。地球中心惯性坐标系的原点随地球绕太阳公转，但不参与地球自转，要估算地球中心惯性坐标系作为惯性坐标系的近似误差，除了要考虑太阳系的运动角速度和加速度外，还要考虑地心绕太阳公转的加速度。地球中心距离太阳中心的平均距离约为15x108km，地球绕太阳公转的周期为一年，由此可算出地球公转运动的平均向心加速度约为605X104g。月亮对地球的万有引力引起的地心平移加速度约为34X106g，其方向沿地球与月球的连线方向。太阳系中离地球最近的行星是金星，它对地球,的引力引起的地心平移加速度最大值约为189x10-8g。太阳系中质量最大的行星是木星，它对地球的引力引起的地心平移加速度最大值约为37X108g。根据上面的数据可知，以地心为原点的坐标系的原点平移加速度大约为6X10-4g，惯性导航系统中使用的加速度计的最小敏感量可至104g106g，上述地心的平移加速度显然不能忽略。因此，一般情况下地球中心坐标系不能看作惯性坐标系。但是，当一个物体在地球附近运动时，如果我们只关心物体相对地球的运动，由于太阳等星体对地球有引力，同时对运动物体也有引力，太阳等星体引起的地心平移加速度与对地球附近运动物体的引力加速度基本相同，两者之差很小，远在目前加速度计的所能敏感的范围之外。,这样，研究运动物体相对地球的运动加速度时，我们可以同时忽略地心的平移加速度与太阳等星体对该物体的作用力。换句话说，可以把地球中心惯性坐标系当成惯性坐标系使用，使用这种惯性坐标系时，要认为物体受到的引力只有地球的引力，而没有太阳、月亮等星体的引力。（为什么，因为加速度计测量的量中包括了太阳，月亮产生的加速度，在计算时需要剔出、即测量量不准）,213 物体在非惯性参照系中的运动1，非惯性参照系；相对惯性空间有运动加速度的参照系就是非惯性参照系。2，绝对运动；物体相对惯性空间的运动称为绝对运动，3，相对运动；物体相对非惯性空间的运动称为相对运动。物体绝对运动加速度与物体所受力之间关系符合牛顿第二定律。在非惯性参照系的相对运动与所受力之间的关系该如何描述呢?下面作一简单分析。 如图21所示。设一物体M质量为m，受力F作用，M在非惯性参照系中的运动加速度为a1，而该非惯性参照系相对惯性空间的加速度为a0，显然，M绝对运动加速度a为 a=a0+a1,根据牛顿第二定律,上式又可写成,假如将（- ）看作作用在物体M上的一种力，称作惯性力，记为,式(216)左面是物体M的真实受力F与假想的惯性力巧之和，右面是物体质量与物体相对非惯性参照系加速度的乘积，此关系式与牛顿定律在形式上是一样的。如果我们“认为”惯性力是物体受力的一部分，那么，根据式(216)，物体所受的合力与物体的相对运动加速度之间的关系就符合牛顿定律所描述的力与运动的关系形式。有了惯性力的概念，我们就可以在非惯性参照系中运用牛顿定律来研究物体的运动，只不过是在作物体的受力分析时，除了要考虑物体的真实受力外，还要认为物体还受惯性力的作用。由式(214)，惯性力的大小等于物体质量与非惯性参照系相对惯性空间的运动加速度的乘积，惯性力的方向与非惯性参照系相对惯性空间的运动加速度的方向相反。,注意，惯性力不是物体的真实受力，引入惯性力的概念是为了研究相对运动方便。研究同一物体相对不同的非惯性系的运动时，物体“所受”的惯性力也是不同的。 牛顿定律也可写成：,这表明，若将物体的绝对运动加速度与其质量的乘积“-ma”看着是惯性力的话，物体的受力是“平衡”的。研究相对运动时的“动静法”就是运用了这种思想，即通过引入惯性力，把动力学问题转化为静力学问题，这就是达伦贝尔原理，,4，惯性力矩；惯性力的概念也可以推广到刚体的转动运动中。刚体中各质点所受的惯性力相对转动轴构成的矩的总和称为惯性力矩。 将牛顿力学定律应用到转动问题中，可得刚体相对惯性空间的转动角加速度a与所受力矩的关系为,式中：J为刚体绕转动轴的转动惯量。 当研究刚体相对非惯性参照系的转动时，若认为由非惯性参照系引起的惯性力矩Mi也是刚体所受力矩的一部分，那么，刚体相对此非惯性参照系的转动角加速度a与所受力矩的关系在形式上与式(218)相同：,应注意的是，当非惯性参照系相对惯性参照系有转动运动时，刚体各质点的绝对加速度中有相对加谏度牵连加速度与哥氏加速度三种成分，牵连加速度与哥氏加速度相应的惯性力都会形成惯性力矩。利用式(219)时，Mi项显然要包括这两种惯性力矩。,22 地球参考椭球和重力场 地球附件载体的定位是相对于地球的，地球的某些特性，如自转运动、垂线及纬度定义、引力场等，在惯导系统中是必须要考虑的，因此要了解地球的这些特性。221 地球的形状与参考椭球 人类赖以生存的地球，实际上是一个质量分布不均匀、形状不规则的几何体。从整体上看，地球近似为一个对称于自转轴的扁平旋转椭球体，其截面的轮廓近似为一扁平椭圆，沿赤道方向为长轴、沿极轴方向为短轴。这种形状的形成与地球的自转有密切的关系。地球上的每一质点，一方面受到地心引力的作用，另一方面又受自转造成的离心力的作用。越靠近赤道，离心作用力越强，正是在此离心力的作用下，地球靠近赤道的部分向外膨胀，这样，地球就成了扁平形状了。,从局部看来，地球表面有高山、有盆地，加上内部结构异常复杂，地球表面是一相当不规则的曲面，无法用数学模型表达。 在海洋上，各处的海平面均与该处重力向量垂直，若假想地球表面全部被海水包围，在风平浪静、没有潮汐的情况下，由海水水面组成的曲面就是地球重力场的等垫面，称为大地水准面。大地水准面不像真正的地表那样有明显的起伏，虽然也不规则，但是光滑的。通常所说的海拔高度就是相对大地水准面的。大地水准面包围的体积称为大地水准体简称大地体。大地水准面也是不规则的，大地体也无法用一数学表达式准确描述。 对于精度要求不高的一般工程问题，常用圆球体代替大地体，地球的平均半径为637102km土005km(这是1964年国际天文学会通过的数据)。,若再精确一些，可以将大地体近似为一旋转椭球体，旋转轴就是地球的自转轴，这种旋转椭球体称为参考椭球。参考椭球的短轴与地球表面的交点就是地球的两极，在地球自转角速度向量正向的极点为北极，另一端为南极。参考椭球的赤道平面是一圆平面，其半径即为参考椭球的长轴半径A，沿地球极轴方向的参考椭球半径为短轴半径为D。有了长短轴半径，就可以确定出参考椭球了(图22)，图23示出了地球实际表面、大地水准面、参考椭球三者之间的关系。,大地水准面与参考椭球在椭球法线方向上的误差称为大地起伏，若参考椭球选取合适，大地起伏一般不超过150m，参考椭球的法线与当地大地水准面之间法线方向的夹角一般不超过3”。惯性导航中就是以参考椭球代替大地体描述地球形状的。 选取参考椭球的基本准则；是使测定出的大地水准面的局部或全部与参考椭球之间贴合得最好，即差异最小。由于所在地区不同，各国选用的参考椭球也不尽相同，表21列出了目前世界上常用的参考椭球。,我国在1954年前采用过美国海富特椭球元素，建国后很长一段时间采用的1954年北京坐标系，是基于苏联克拉索夫斯基参考椭球的。1980年开始使用1975年国际大地测量与地球物理联合会第16届大会推荐的参考椭球。在本书以后的分析当中，我们均以参考椭球来代替地球的形状。222 参考椭球的曲率半径 导航中经常要从载体相对地球的位移或速度求取载体经纬度的变化率，因此当把地球近似为参考椭球时必须研究参考椭球表面各方向的曲率半径。显然，椭球体表面上不同点的曲率半径是不同的，同一点沿不同方向的曲率半径也是不同的。,1子午圈的曲率半径 1）子午面；过极轴的任意平面与参考椭球相截，截平面为椭圆面，该椭圆面称为子午面，子午面的轮廓线称为子午圈或子午线，子午线都是过两极的南北方向线，见图24。 子午圈的曲率半径称为主曲率半径。显然，在两极处子午圈的曲率半径最大，在赤道附近子午圈的曲率半径最小。在纬度p(p为椭球法线与赤道面之间的夹角)，子午圈的曲率半径为,