高中新课程 交流中心： 第 1 页 共 21 页 高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例 1 求过两点 )4,1(A、 )2,3(4,2(析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(圆心在 0 圆的方程为 22)(该圆过 4,1A、 ,3( 22)3(61， 0所以所求圆的方程为 2)(2法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 )4,1(A、 ),3(以圆心 因为32 ，又 3,2(，故 的垂直平分线 的方程为：y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C半径 24)1(2所求圆的方程为 点 )4,2(0,(的距离为 2512点 在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？高中新课程 交流中心： 第 2 页 共 21 页 例 2 求半径为 4，与圆 0422和直线 0析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解：则题意，设所求圆的方程为圆 22)()( 圆 半径为 4，则圆心 的坐标为 )4,(14,(2又已知圆 0242的坐标为 2，半径为 3若两圆相切，则 73C(1)当 ),(122)1()(，或 221)4()(a(无解)，故可得02所求圆方程为 22)4()0( 224)()0(2)当 )4,271，或 214)a(无解)，故6所求圆的方程为 224)()6( 224)()6(明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线 0，则圆心坐标为 )4,(方程形如224)()(圆 022 2231圆心为1,A，半径为 3若两圆相切，则 3 7)()(，解之得02所以欲求圆的方程为 224)1(24)()(述误解只考虑了圆心在直线 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线 0外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例 3 求经过点 )5,0(A，且与直线 2析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线 圆心 中新课程 交流中心： 第 3 页 共 21 页 又圆心到两直线 02 5两直线交角的平分线方程是 03圆过点 ),0(A，圆心 圆心 )3,(t 到直线 02C， 2)53(5简整理得 062t解得： 1心是 )3,(，半径为 5或圆心是 )15,(，半径为 5所求圆的方程为 )3()222)(2明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满足：(1)截 ；(2)被 弧长的比为 1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 0的距离最小的圆的方程分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：设圆心为 ),(径为 r则 到 a由题设知：圆截 轴所得劣弧所对的圆心角为 90，故圆截 2圆截 12a高中新课程 交流中心： 第 4 页 共 21 页 又 ),(2 22)(2221时取“=”号，此时 5d这时有 12或又 22)1()(2)1()(2解法一，得 52 d 2254将 1代入上式得： 022述方程有实根，故 )15(82， d高中新课程 交流中心： 第 5 页 共 21 页 将 5b又 12 由 知 、 所求圆的方程为 2)1()(2)1()(2明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆 42，求过点 42，相切的切线解：点 ，切线 214 3所以 42 013因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）还可以运用 20，求出切点坐标 0x、 时没有漏解例 6 两圆 1121 与 222相交于 A、 它们的公共弦 析：首先求 、 两点的坐标，再用两点式求直线 是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆 1、 2的任一交点坐标为 ),(0有：010202高中新课程 交流中心： 第 6 页 共 21 页 得： 0)()( 21021021 A、 (21方程 )()( 212121、 过 、 两点的直线是唯一的两圆 1C、 2的公共弦 )()( 212121 明：上述解法中，巧妙地避开了求 、 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例 7、过圆 外一点 ，作这个圆的两条切线 、 ，切点分别是 、 ，求12,2(方程。求过点 ，且与圆 相切的直线 的方程(3,1)4切线方程为 ，即 ，310k圆心 到切线 的距离等于半径 ，,0l ，解得 ， 2|1k4切线方程为 ，即 ，3()130y当过点 的直线的斜率不存在时，其方程为 ，圆心 到此直线的距离等于半径 ，)2故直线 也适合题意。求的直线 的方程是 或 坐标原点且与圆 相切的直线的方程为 0252直线方程为 ，即 .圆方程可化为 ，圆心为25)1()2(，半径为 解得 或 ，直线方程为2102123、已知直线 与圆 相切，则 的值为