第十章 常微分方程数值解,第一节 求解初值问题数值方法的基本原理,第二节 高精度的单步法,第三节 线性多步法,第四节 一阶微分方程组的解法,第五节 边值问题的打靶法和差分法,考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x10,使得,对一切 成立,则该方法收敛,且有,由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶,对改进的Euler法,于是有,设L为f关于y的Lipschitz常数,则由上式可得,限定h即可知Q满足Lipschitz条件,故而改进的Euler法收敛.,例：考察初值问题 在区间0, 0.5上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.0000 4.00008.0000 1.6000101 3.2000101,1.00002.5000101 6.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,3. 稳定性,定义,若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的 /*absolutely stable */。,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程 /* test equation */,常数，可以是复数,例：考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,第二节 高精度的单步法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一、Runge-Kutta法的基本思想（1）,Runge-Kutta法的基本思想（2）,Runge-Kutta法的基本思想（3）,二、二阶龙格库塔方法,三、三阶龙格库塔方法,四、四阶龙格库塔方法,两点说明:,五、变步长的龙格库塔方法,R-K方法的绝对稳定区域,