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1234-438765y=2xy=( )x12一、教材分析教材背景指数函数是在学习了函数的现代定义及其图象、性质,掌握了研究函数的一般思路,并将幂指数从整数扩充到实数范围之后,学 习的第一个重要的基本初等函数,是函数一章的重要内容。本节内容分三课时 完成,第一课时学习指数函数的概念、图象、性 质;第二、三课时为指数函数性 质的 应用,本课为第一课时。本课的地位和作用本节内容既是函数内容的深化,又是今后学习对数函数的基础,具有非常高的实用价值,在教材中起到了承上启下的关键作用。在指数函数的研究 过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演 绎推理等数学思想方法,通过学习可以帮助学生进一步理解函数,培养学生的函数应用意识,增强学生对数学的兴趣。二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析,确定本节课重难点如下: 重点:本节课是围绕指数函数的概念和图象,并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。难点: 1、对于 和 时函数图象的不同特征,学生不容易 归纳认a10识清楚。因此,弄清楚底数 a 对函数图象的影响是本节 的难点之一。2、底数相同的两个函数图象间的关系。三、目标分析知识技能目 标掌握指数函数的概念、图象和性质。过程性目 标通过自主探索,让学生经历“特殊一般特殊”的认知过程,完善认知结构,领会数形结合、分类讨论、 归纳推理等数学思想方法。情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦,体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美,展现数学实用价值及其在社会进步、人 类文明发展中的重要作用。四、学情分析有利因素学生刚刚学习了函数的定义、图象、性 质,已经掌握了研究函数的一般思路,对于本节课的学习会有很大帮助。不利因素本节内容思维量较大,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求,学生学习起来有一定难度。五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析,本着教法 为学法服务的宗旨,确定以下教法、学法:探究发现式教学法、类比学习法,并利用多媒体 辅助教学。遵循“以学生为主体、教师 是数学课堂活动的组织者、引 导者和参与者 ”的 现代教育原则。依据本节为概念学习的特点,类比学习函数的一般思路,以问题 的提出、 问题的解决为主线,始终在学生知识的“最近发展区”设置问题,倡导学生主动参与,通过不断探究、发现,在 师生互动、生生互 动中, 让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。六、教学过程设计复习旧知 新课引入 探索新知 知识扩展 课堂练习 课堂小结 课后作业七、教学过程复习旧知函数的三要素是什么?函数的单调性反映了函数哪方面的特征?答:函数的三要素包括:定义域、值域、 对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势,例如:某个函数当自 变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数, 图象上反应出来越往右图象上的点越高。新课引入观看视频解答下面两个问题:问题 1:某种细胞分裂时,由一个分裂成 2 个, 2 个分裂成 4 个, 这样的细胞分裂 x 次后,细胞个数 y 与 x 的函数关系式为:y=2 x(xN *)问题 2:铀核裂变能产生巨大的能量,它的裂变方式称为链式反应,假定 1个中子击打 1 个铀核,此中子被吸收产生能量并释放出 3 个中子,这 3 个中子又打中另外3 个铀核产生 3 倍的能量并释放出 9 个中子,这 9 个中子又击中 9 个铀核这样的击打进行了 x 次后释放出的中子数 y 与 x 的关系是:y=3 x(xN *)提问:y=2 x 与 y=3x这类函数的解析式有何共同特征?答:函数解析式都是指数形式,底数为定值且自变量在指数位置。(若用 a 代换 两个式子中的底数,并将自 变量的取值 范围扩展到实数集则得到)探索新知一指数函数的定义一般地,函数 y=ax(a0,且 a1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R。提问:在本定义中要注意哪些要点?1 自变量 x2 定义域 R3 a 的范围 a0,且 a14 定义的形式(对应法则) y=ax进一步提问:为什么规定定义中 ?10a且将 a 如数轴所示分 为: , , , 和 五部分进行讨a论:(1)如果 , 比如 ,这时对于 等,在实数范围内函数0axy)4(21,4x值不存在;(2)如果 ,0a无 意 义时当 时当 xa,0(3)如果 , ,是个常值函数,没有研究的必要;1xy(4)如果 或 即 , 可以是任意实数。10且 x* 因为指数概念已经扩充到整个实数范围,所以在 的前提下,10a且可以是任意实数,即指数函数的定义域为 R。x二指数函数图象指数函数的图象是怎样的呢?先看特殊例子(将同学们分两组用描点法分别画出下列函数的图象)第一组:画出 , 的图象;第二组:画出 , 的图象。xy2x)1( xy3x)1((及时指导学生作图,然后播放已经做好的函数图象,让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点。 )提问:此两组图象有何共同特征?当底数 和 时图象有何区10a别?三指数函数性质根据指数函数的图象特征,由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质,完成下表:a1 0a1图象(1)定义域:R(2)值 域:(0,+)(3)过点(0,1),即 x=0 时,y=1性质(4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数(说明:教材对于指数函数性质的处理,仅是观察图象发现的,其正确性理应严格证明,但教材不做要求)四指数函数性质的简单应用例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质上原来的 84%。画出 这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩留量是原来的一半(保留一个有效数字)解:设这种物质最初的质量是 1,经过 x 年后,剩留量是 y。经过 1 年,剩留量 184%0.经过 2 年,剩留量 2一般地,经过 x 年,剩留量0.84xy根据这个函数关系可以列表如下:x 0 1 2 3 4 5 6y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35画出指数函数 的图象。从图上看出 只需 。.84xy0.y4x答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半。例 2说明下列函数的图象与指数函数 的图象的关系,并画出它们2x的示意图。 ;1xy2xy解:比较函数 与 的关系:1x与 相等,3122与 相等,y与 相等,13由此可以知道,将指数函数 的2xy图象向左平行移动 1 个单位长度,就得到函数 的 图象。12xy比较函数 与 的关系:2xyx与 相等,13与 相等,022与 相等,3y1由此可以知道,将指数函数 的图象向右平行移动 2 个单位长度,就2xy得到函数 的图象。2xy、知识扩展一考古中的指数函数是具有放射性的碳同位素,能够自发地进行 衰变, 变成氮,半衰期14C为 5730 年,活的植物通过 光合作用和呼吸作用与环境交换碳元素,体内的比例与大气中的相同。植物枯死后, 遗体内的 仍在进行衰变,不断减14 14C少,但是不再得到补充。因此,根据放射性 强度减小的情况就可以算出植物死亡的时间。测年方法进入考古学研究被誉为考古学发展史上的一次革命,它将考古学研究中得到的相对年代转变为绝对年代,给考古学带来了质的飞跃,使研究更加科学化,促进了考古学研究的深入。其中测算公式是一个指数式 。57301()2xy二音乐中的指数函数钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声键盘乐器。从左往右逐个试弹所有琴键,我们 听到琴声逐渐由低到高,这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有关,而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关。粗略地说,琴弦长则振动慢, 频率小,故发出的声音低;琴弦短, 则振动快, 频率大,故 发 出的声音高。音域宽度自大字二组的 A2 至小字五组的 。根5c据“十二平均律 ”的法则,任何两个相邻的键所发出的音相差半音阶(100 音分),它们的振动频率之比是一个常数 Q,设 最低的第一个音 A2 的频率是 a,则第二个音 #A2 的频率是 aQ,第三个音 B2 的 频率是aQ2,另外,音高每提高八度(如 A2 到 A1)频率增大为原来的 2 倍,而八度音域内包含 12 个半音(连续的 7 个白键和 5 个黑键),所以,第十三个音(A 1)的频率是第一个音(A 2)的频率的 2 倍。故 ,即 。2aQ1另一方面,弦振动的频率与弦长成反比。所以,从左向右,相邻两弦的长度之比是常数 q=1/Q,从而有 q12=1/2。设左边第一根弦的长度为 ,则第二根弦的长度为 ,第三根弦的 长度l lq为 ,如图,取第一根弦所在直线为 y 轴,各弦靠近键盘的端点所在直2lq线为 x 轴建立坐 标系,相邻两弦间的距离为长度单 位。这时,将弦的另一端点(上部)连成光滑曲线,那么曲 线上任意点的坐标 都满足函数关系 。(,)xxylq若令 ,则 ,可化为 。logqcxylxcyq经过适当平移,就可知道光滑曲线是指数函数 的图象 指数曲线。xy生活中到处都有数学,我们要学会用数学的眼光观察世界,用数学发现自然界的奥秘。、课堂练习1、求下列函数的定义域: 115)2(3)( xxyy2、函数 y=a2x-3+3 恒过定点 。3、作出函数 和 的图象,并 说明12xx这两个函数图象与 图象的关系。y4、如图是指数函数 , , ,xaxybxc 的图象,则 a,b,c,d 的大小关系是( )xydA 1abcdBC D c课堂小结设问:本课我们主要学习了哪些内容?应当注意些什么?本节课主要学习了指数函数的定义、图象和性质。弄清楚底数 和1a时函数 图象的不同特征及性质是学好本节课的关键所在。10a课后作业课本第 73 页习题 2.6 1、2收集关于指数函数应用的相关资料,通过分析整理,写一篇 800 字左右的报告。八、课后反思一在教学过程中有几个问题值得注意:学生可能把自变量在指数上的函数都认为是指数函数,应予以及时纠正。若学生质疑指数函数单调性结论的正确性, 应先肯定质疑是正确的,因为用图象观察归纳出来的结论,必须经过严格证明才是可靠的!但由于教材对此不作要求,因此,鼓励学有余力的同学可自己尝试证 明。二本课设计有以下几点值得借鉴:本课设计在注重引导学生学习书本知识的同时,还进行了知识的扩展,让学生感受到数学的实用价值。本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况,并采用合理方式进行引导、解决。教学过程中充分发挥学生主体作用,始 终以问题的形式引导学生主动参与,在师 生互动、生生互动中让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程,做到了把握重点、突破难点。附:板书设计附:教 案 设 计 说 明此教学方案是依据新课程标准、教材及本人的教学风格并考虑学生的学习兴趣来设计的,下面就本课 教案做以下几点说明:一、选材:本节课选取的内容为数学发展中具有代表性的知识。指数函数既是函数的深化,又是学习对 数函数的必备,通 过本节 内容的学习, 让学生在掌握知识的同时感受到数学的实用价值。二、理念:本节课的教案设计体现了“以学生为主体,教师是课堂活动的组织者、引导 者和参与者”的现代教育理念。在教学的每一个 环节中均设计了问题,始终以教师提出问题,引导学生解决问题的方式进行,让课堂活动变得生动而愉悦。三、注重知识扩展,本课设计时有意识的选取了“细 胞分裂”、 “铀核裂变” 、“指数函数在考古中的应用” 、“指数函数在音乐中的应用” 等知识,让学生感受到生活中到处都有数学,要学会用数
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