1圆锥曲线与方程复习讲义第一讲椭圆知识盘点一椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数（ ）21,F12|F的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为。这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的。注：当 2a= 时，点的轨迹是线段 ；当 2a|F1F2|)的点的轨迹焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程)0(12bayx )0(12baxy方程参数方程 为 离 心 角 ）参 数 (sinco 为 离 心 角 ）参 数 (sinco范围 axa，b yb axa，b yb中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0）顶点 A1（a,0） ，A 2(a,0)B1(0,b)，B 2(0,b)A1（0，a） ，A 2(0，a)B1(b，0)，B 2(b，0)对称轴 关于 x,y 轴成轴对称关于原点成中心对称关于 x,y 轴成轴对称关于原点成中心对称焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2(0，c)焦距2c （其中 c= ）2ba2c （其中 c= ）2ba长轴短轴 长轴 A1A2 的长为 2a短轴 B1B2 的长为 2b长轴 A1A2 的长为 2a短轴 B1B2 的长为 2b离心率 )0(eac )0(eac2通径 ab2 ab2三椭圆的性质：椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）| PF1|+|PF2|=2a(第一定义)，（2）椭圆上的点到左焦点的距离最小值:，椭圆上的点到左焦点的距离最大值: ；（3）椭圆上过焦点的弦长中长轴最长，通经最短；（4）斜率为定值的动直线与椭圆所截的弦中过椭圆中心的弦长最长；（对称性）（5）在焦点三角形 PF1F2 中，顶角PF 1F2 的大小当点 P 与短轴顶点重合时最大； ，当 越大 S 越大，所以当点 P 与短轴顶点重合2PpScyAp时焦点三角形 PF1F2 的面积最大；设顶角PF 1F2=，则 （椭圆的定义及余弦定理12tanPFbA推导）椭圆的离心率与焦点三角形 PF1F2 的内角的关系：（正弦定理推导）12sineP（6）离心率 e (0e 1) ， 确定椭圆的形状： 越大椭圆越扁， 越小椭圆ca 1 b2a2 eee越圆.（7）点 在椭圆内，则 ，点 在椭圆外，则 ；,oxy21xyb,oPxy21xyab特别提醒1涉及到直线与椭圆的位置关系问题时，要注意判别式 及韦达定理的运用。2直线与椭圆相交时的弦的中点与斜率的问题时可利用点差法，设点而不求。3弦长公式 。21lkx基础闯关一、判断椭圆的焦点位置：1如果方程 x2ky 22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（ ）(A)（0，） (B)（ 0，2） (C)（1，） (D)（0，1）2椭圆 5x2ky 25 的一个焦点是（0，2） ，那么 k 等于（ ）(A)1 (B)1 (C) (D) 553注：椭圆 Ax2+By2=1（A、B 为实数）表示椭圆的充要条件为 A0,且 B0 且 AB ；当 AB 时椭圆的焦点在 y 轴上；当 A0,n0,且 )，而不必考虑焦点的位置，求得椭圆的方程；nm（2）已知椭圆的焦点坐标时，可用定义法求解椭圆的方程。二、椭圆的定义的应用1已知 F1，F 2 是椭圆 的两个焦点，过 F2 的直线交椭圆于 A、 B，若|AB|=5，2169xy则|A F1|+|B F1|=( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)162椭圆 上一点 M 到左焦点 的距离为 2，N 是 的中点，则 = ()259xy11MON（A）2 （B）4 （C）8 （D） 3注意： 以焦点半径 为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆内切.1PF3如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂256xyAx线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，1234567,PF则 _1234PFF4 F1、F 2 分别为椭圆 =1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，POF 22byax是面积为 的正三角形，则 b2 的值是_ _.35一动圆与已知圆 外切，与圆 内1:31Qxy22:381Qxy切，试求这个动圆圆心的轨迹方程。三、焦点三角形的面积及角的最大值问题1. F1、F 2 是椭圆 C： 的两个焦点，在 C 上满足 PF1PF 2的点的个数是2184xy_.2. 已知 是椭圆 的两个焦点，点 P 是椭圆上一点.12,2064（1）若 ，求 的面积；（2）若 为钝角，求点 P 横坐标的取值范12FP31FA12FP围.3已知椭圆的两个焦点 ，P 是椭圆上一点，且 ，求椭圆的离心率的取12, 0129值范围。四、椭圆中的离心率问题1若一个椭圆的长轴、短轴、焦距成等差数列，求该椭圆的离心率。2已知椭圆的两个焦点 ，满足 的点 M 总在椭圆内部，求椭圆的离心12F, 021F率的取值范围。3已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 。若椭圆上02bayx 0,1c,2F存在点 P 使 ,求椭圆的离心率的取值范围。1221sinsinFPcF4. 已知椭圆 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且02bayx轴，直线 AB 交 y 轴于点 P，若 ,求该椭圆的离心率。xBFBA2五、椭圆中的最值问题1已知椭圆 内一点 P（1，-1） ，F 是椭圆的右焦点，点 M 在椭圆上，求点 M 坐243标，使 最大或最小.PMF2已知点 P( )在椭圆 8x2+3y2=24 上,求 的取值范围.yx, yx213已知直线 ：y=x+3 与双曲线 ，如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆，使椭l234圆与 n 有公共点，求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。五、直线与椭圆的位置关系1直线 与椭圆 总有公共点，则 m 的取值范围为_.ykx12y15m2求椭圆 上的点 P，使其到直线 的距离最大或最小，并求269:3450lxy5此最大值或最小值。3已知椭圆 及直线 ，24xy1xm（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。4已知椭圆 上有两个不同点关于直线 对称，求 m 的取值范围.2xy13y4x点差法1求中心在原点，一个焦点为 且被直线 截得的弦中点横坐标为 的12椭圆方程。2已知直线 l 与椭圆 相交于 A、B 两点，弦 AB 中点坐标（1，1） ，求24x9y36及直线 l 的方程。AB3已知椭圆 ， （1）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；2xy（2）过 引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程；(,)A（3）求过点 ，且被 平分的弦所在的直线方程.2P韦达定理已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线012bayx23与椭圆相交于 A、B 两点，若 , 求 k 的值。BF第二讲双曲线知识盘点一双曲线的定义：我们把平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 21,F）的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为。这两个定点叫|,|21F双曲线的，两个焦点之间的距离叫做双曲线的 。注意：当 2 2 时，轨迹是双曲线；当 2 2 时，轨迹是两条射线；当 2 2 时，轨迹不存在。二双曲线的几何性质椭圆定义 到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值 2a(2a1，e 越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，它的开口就越阔.ac（8）点 在双曲线内，则 ，点 在双曲线外，则,oxy201xyab,oPxy；201ab（9）等轴双曲线：1) 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. （a=b）2）性质：渐近线方程为： ；渐近线互相垂直；离心率 .等轴双曲线可以设为： 当 时交点在 x 轴，当 时焦点在 y 轴上。0（10）共轭双曲线: 1)定义：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线.2）区别：三量 a,b,c 中 a,b 互换，c 相同.共用一对渐近线.确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为1.（11）渐近线：给定了双曲线方程 =1，令 =0 就可求得确定的两条渐2axby2axby近线但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程共渐近线的双曲线系：若已知渐近线方程是 =0，则可把双曲线方程表示为 axby2ax= （ 0） ，再根据已知条件确定 的值，求出双曲线的方程.2by基础闯关一、双曲线的方程及定义：1. 已知方程 的图象是双曲线，那么 k 的取值范围是（ ）21xykkkk或 kk82. “ab0、B0 时双曲线的焦点在 y 轴上.3. 双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 ( )21mxym(A) (B) (C) (D)1444144过双曲线 左焦点 F 的直线交双曲线的左支于 M、N 两点，F 2 是其右焦点，则213的值为_. 2MFN5已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为21736xy4，求双曲线的方程。6给出问题：F 1、F 2 是双曲线 =1 的焦点，点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的12x0y距离等于 9，求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由|PF1| |PF2|=8，即|9|PF 2|=8，得| PF2|=1 或 17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在题中的横线上._.注: 双曲线上与左(右) 焦点距离最近的点是左( 右)顶点.7P 为双曲线 上一点，若 F 是一个焦点，以 PF 为直径的圆与圆21xyab的位置关系是_.2xy注意：以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）二、共渐近线的双曲线系:1过点（2，2）且与双曲线 y 2=1 有公共渐近线的双曲线方程是( )x(A) =1 (B) =1 (C) =1 (D) =1y42x4242x2x4y警示渐近线是双曲线特有的，如果说双曲线的方程为 ，则其渐近线方程可记21ab为 .同时，以 为渐近线的双曲线，其方程可设为 ；若已知双曲线20xyab20xyab2xy的渐近线方程是以 axby=0 的形式给出的，则可设双曲线方程为 a2x2b 2y2= （ 0）.三、双曲线中的渐进线问题:91.曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为 （ ）21()xya3（A） （B） （C） （D）232632.知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的2(0,)ba 3yx距离为 1，则