曲线运动、运动的合成与分解（提高）学习目标1、知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动。2、知道物体做曲线运动的条件，理解牛顿第二定律对物体做曲线运动条件的解释。3、理解合运动与分运动的关系、具体问题能够正确区分合运动与分运动。4、掌握运动的合成与分解的方法，能够熟练的应用平行四边形法则作图将合运动与分运动统一在一个平行四边形中并进行计算。5、学会用数学的方法研究物体的运动，并从物体的运动轨迹方程判断物体的运动性质。要点梳理要点一、曲线运动速度的方向要点诠释：1、曲线运动速度方向的获取途径其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。2、曲线运动速度的方向质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向，指向前进的一侧3、曲线运动的性质曲线运动的速度方向时刻在变化，速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。 要点二、物体做曲线运动的条件要点诠释：1、物体做曲线运动的条件的获得途径其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。2、物体做直线运动条件当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。3、物体做曲线运动条件物体做曲线运动条件是：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。也就是说物体做曲线运动，必有：物体具有初速度，即 v00；物体受到合外力的作用，即 F 合 0，或者说加速度 a0；合外力（加速度）与速度不在同一条直线上。4、曲线运动中合外力的切向分量和法向分量的作用对于做曲线运动的物体，把合外力 F 沿曲线的切线方向和法线方向（与切线垂直的方向）分解，沿切线方向的分力 F1使质点产生切线方向的加速度 a1，当 a1和 v 同向时，速度增大，如图 1 所示，此时的合外力方向一定与速度方向成锐角； 当 a1和 v 反向时，速度减小，如图 2 所示，此时的合外力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明 a10，即 F10，此时的合外力方向一定与速度方向垂直。沿法线方向的分力 F2产生法线方向上的加速度 a2，由于力 F2与速度方向垂直，所以力 F2不能改变速度的大小，只能改变速度的方向。由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合外力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的。可见，在曲线运动中合外力的作用效果可分成两个方面：切向分量产生切线方向的加速度 a1，改变速度的大小当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。法向分量产生法线方向的加速度 a2，改变速度的方向只有使物体偏离原来方向的效果，不能改变速度的大小。这正是物体做曲线运动的原因。若 a10，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若 a20，则物体的运动为直线运动。5、物体做曲线运动的轨迹弯曲规律根据钢球在磁铁吸引下的曲线运动、石子抛出后的曲线运动以及人造地球卫星的曲线运动等实例，可得到结论：物体的运动轨迹必定在物体速度方向和所受合外力方向之间。由于曲线运动物体的速度方向是时刻改变的，物体在某一点的速度方向就是沿曲线上该点的切线方向，而曲线上任一点的切线总在曲线的外侧，因此，运动物体的曲线轨迹必定向合外力方向弯曲，也即合外力方向指向曲线的内侧。若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向。如物体在从 M 运动到N 的过程中，在运动到点 P 时，其受力方向一定是向上的而不可能向下。要点三、质点在平面内的运动要点诠释：1、平面曲线运动的描写（1）直线运动的描写：用一维坐标系 x=x(t)便可以描写质点的位置、速度、加速度（2）平面曲线运动：可以用平面直角坐标系 xoy 描写质点的位置（x，y）、速度(vx，v y)和加速度(a x，a y)，即可以通过两个方向上的分运动去认识或解决平面曲线运动。（也可以用极坐标来描写平面曲线运动，高中阶段不做要求）2、平面曲线运动位置的确定（1）确定分运动的性质：首先弄清楚质点沿着 X 方向和 Y 方向做什么运动。这要通过具体分析质点在这两个方向上的受力情况和初始条件而获得，即要通过 Fx与vx、F y与 vy的特点和方向关系具体明确。（2）写出质点在 x、y 两个方向的位移时间关系例如，一个质点在 x 方向上受到的合外力为零而初速度不为零，则这个质点在 x 方向上就做匀速运动；如果这个质点在 y 方向上受到恒定的合外力而初速度不为零且与合外力方向相反，则这个质点在 y 方向上就做匀减速运动，这个质点任意时刻的位置坐标可以表达为：x=v xt， 。3、平面曲线运动轨迹的确定（1）已知 x y 两个分运动，求质点的运动轨迹：只要写出 x y 两个方向的位移时间关系 x=x(t)和 y=y(t) ，由此消除时间 t，得到轨迹方程 y=f(x)，便知道轨迹是什么形状。例如质点在 x、y 方向上都做匀速直线运动，其速度分别是 vx、v y，求其运动的轨迹方程。第一：写位移方程 x=v xt、y=v yt ；第二：消时间 t 得到轨迹方程 ；可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。例如，船在流水中渡河问题，船同时参与了沿垂直于河岸 OA 的方向和沿着水流动方向OB 的两个匀速运动，船实际进行的是沿 OC 方向的运动，所以 OC 是合运动，由于两个方向的运动都是匀速运动，其合外力为零，所以船实际的运动轨迹是一条直线。如果船头对准对岸( )做初速为零的匀加速直线运动，所以有垂直河岸向上的合外力，而合速度方向则是偏向下游的，所以船的实际运动(合运动)是曲线运动。要点四、运动的合成和分解要点诠释：1、运动的合成与分解由描写各分运动的量，求合运动的相关量叫运动的合成；由描写合运动的量求各个分运动相关量叫运动的分解。2、在平面曲线运动中由分运动的加速度、速度、位移，求质点的合加速度速度和位移（1）加速度、速度和位移都是矢量，其合成和分解都遵守平行四边形法则；（2）平面运动任意时刻的加速度、速度、位移：加速度的大小 加速度的方向合速度的大小 合速度的方向合位移的大小 合位移的方向3、由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移描写合运动的物理量和描写分运动的相关物理量，被统一在同一个相关的平行四边形中，运动的分解是运动合成的逆运算，因此，由合运动的加速度、速度及位移求分运动的加速度、速度及位移的方法与运动的合成完全一样。例如：由上面的平行四边形可得分运动的位移、速度、加速度（运用已知条件解三角形）4. 合运动的判断方法物体实际进行的运动就是合运动。要点五、合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系要点诠释：1、等时性质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。2、等效性各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。 3、独立性同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。 典型例题类型一、曲线运动的条件和性质1、如图所示，一质点做加速曲线运动从 M 点到 N 点，当它经过点时，其速度 v 和加速度 a 的方向关系正确的是（）答案与解析 【思路点拨】准确的理解质点从 M 点到 N 点做加速曲线运动是解题的关键和突破口。【答案】C【解析】物体从 M 到 N 做加速运动，说明 a 的切向分量与 v 同向，曲线运动的合外力一定指向曲线凹的一侧，其加速度也一定指向曲线凹的一侧，所以正确答案 C。【总结升华】做曲线运动的物体所受到合外力的切向分量和法向分量分别起着改变速度的大小和方向的作用。做曲线运动的物体其所受合外力方向一定指向轨迹的内侧。 2、一个质点受两个互成锐角的力的作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但 突然增大到 ，则此质点以后的运动（）A. 一定做匀变速曲线运动 B. 在相等时间内速度的变化一定相等C. 可能做匀速直线运动 D. 可能做变加速曲线运动 答案与解析 举一反三 【思路点拨】分析 F1变化后引起合力的变化、特点以及合力与速度方向的关系。【答案】AB【解析】F 1变化后引起合力的变大，其方向发生变化，导致合外力与速度不共线，物体做曲线运动，但 突然增大到 后合力仍为恒力，所以物体做匀变速曲线运动，正确的答案是 AB。 【变式】某质点在恒力 F 作用下，从 A 点沿下图中曲线运动到 B 点，到达 B 点后，质点受到的力大小仍为 F，但方向相反，则它从 B 点开始的运动轨迹可能是图中的（ ）A曲线 a B直线 b C曲线 c D三条曲线均有可能 答案与解析 【答案】A 类型二、分运动与合运动的特点和应用3、下列说法正确的是（）A. 两匀速直线运动合运动的轨迹必是直线B. 两匀变速直线运动合运动的轨迹必是直线C. 一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动轨迹是曲线D. 几个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹是直线答案与解析 举一反三 【思路点拨】正确地运用物体做曲线运动和直线运动的条件，结合运动的合成法则，考虑到两个分运动夹角的不同情况，逐一做出判断。【答案】AD【解析】物体做曲线运动的条件 F 合 和 有一个夹角。物体做匀速运动， F 合 0，所以 A 正确。做匀变速直线运动的物体受到恒力的作用，两个匀变速直线运动的合成时，合外力仍是恒力，但此力与 的方向是否在一条直线上无法判断，所以 B 错。当两个分运动在一条直线上时，即合力与初速度在一直线上，合运动轨迹仍是直线，所以 C 错。几个初速度为零的匀变速直线运动的合成时，合外力是一恒力， ，所以合运动的方向一定沿合力的方向，所以是直线运动，即 D 正确。【总结升华】两个直线运动的合运动不一定是直线运动要具体情况具体分析。两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动。互成角度的两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动；互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动（合速度与合加速度的方向在同一条直线上），也可能是匀变速曲线运动（合速度与合加速度的方向不在同一直线上）。【变式 1】关于运动的合成与分解，下述说法中正确的是（）A、合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和 B、物体的两个分运动是直线运动，则它的合运动一定是直线运动 C、合运动和分运动具有同时性 D、合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动 答案与解析 【答案】C【解析】运动的合成与分解遵循平行四边形定则，故合速度的大小介于两分运动速度大小之差与两分运动速度大小之和之间，故 A 选项错误；物体的两个分运动是直线运动，说明两个分力与两分速度各自在同一直线上，但两个分力的合力、两分速度的合速度方向却不一定在同一直线上，即两分运动是直线运动，合运动不一定是直线运动；反之，合运动是曲线运动，分运动也不一定就是曲线运动，故B、D 选项错误。当一个运动分解为两个分运动或几个分运动时，几个分运动各自遵循独立的运动规律而不相互干扰，但合运动与分运动，分运动与分运动间运动时间相同，同时进行，具有等时性，故选项