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3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数,,定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、 实对称矩阵特征值的性质,证明:设,是 阶实对称矩阵,,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值,,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则 ,,于是,,(4.11),由于 ,,对最后一式取复数转置,,得到,两边再右乘 ,,得到,所以有,特征值都是实数。,这样, 是实数。,由 的任意性,,实对称矩阵 的,特征向量都是实数向量。,附注:,进一步地有,,实对称矩阵,的属于特征值的,一、 实对称矩阵特征值的性质,定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,对上面第一式两边左乘 ,,的特征向量。,定理4.13,实对称矩阵,的属于不同,特征向量相互正交。,证明:,特征值的,设 ,,是实对称矩阵 的不同特征值,,,,分别是属于特征值 ,,于是,,,得到,(4.12),而,于是有,这样,由 得到,是正交的。,,即,与,特征向量相互正交的线性无关组。,【注】,实对称矩阵,的属于不同特征值的,向量 和 对应特征向量,在4.1中里4中,,例1,矩阵,是实对称矩阵,,特征值 (二重),对应特征,都正交。,把它们化为标准正交组。,当然,,彼此不正交,,但可以通过,标准正交化方法,为 矩阵。,把 分块为 ,,也是 的属于 的,定理4.14,设,是阶,实对称矩阵,则,存在正交阵, 使 为对角阵.,下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。,证明:,对矩阵,的阶数,用数学归纳法。,当 时,定理结论显然成立.,假设对于所有,阶实对称矩阵来说定理成立。,故不妨设 是单位向量,,设,是 的一个特征值,,是属于特征值 的,特征,向量,显然单位向量,特征向量.,第一列任意正交矩阵。,记,是以 为,其中,则,及 与 的各列向量都正交,,注意到,根据归纳法假设,,其中,为 阶实对称矩阵。,使得,对,存在 阶正交矩阵,所以,并且,令 ,,则,均为 阶正交矩阵,,这表明,阶实对称矩阵定理结论成立。,为对角矩阵。,根据数学归纳法原理,,对任意,对每个 ,其中 为 重的,,二、 实对称矩阵对角化方法,具体步骤如下:,根据定理4.14,,任意一个实对称矩阵都可以对角化。,求出 的所有特征值,第一步,对给定实对称矩阵 ,,解特征方程,,设 的所有不同的特征值为,;,第二步,解齐次线性方程组,求出它的一个基础解系 ;,得到正交向量组 ,,第三步,利用施米特正交化方法,,把,正交化,,再把 单位化,,得到一个,标准正交组 , ;,注意:,它们都是属于,的线性无关特征向量!,且,第四步,令 ,,则,是正交阵,为对角阵,,与 中正交列向量组(特征向量!)排列顺序相对应。,附注:,矩阵,主对角线元素(特征值!)排列顺序,(实对称矩阵A 的标准形!),在不计排列顺序情况下,,这种对角化形式,是唯一的。,例2 对矩阵,求一正交阵 ,使,成对角矩阵。,的特征多项式为,解:,矩阵,解特征方程得特征值 (二重), 。,即求解,对于 ,,解齐次线性方程组,得到一个基础解系 , 。,对于 ,,即求解,解齐次线性方程组 ,,得到一个基础解系 。,把,正交化:,得到,将,单位化,,构造矩阵,的属于0的特征向量为,。,则,为正交矩阵,,并且使得矩阵,对角化为 :,,求矩阵 。,例3,设三阶实对称矩阵,的特征值为 ,,(二重),,而,解:,因三阶实对称矩阵必可对角化,,本题中,对应于二重,特征值1的线性无关向量,应有两个特征向量组成,,设为,。,根据定理4.13,它们都与 正交,,故 是,齐次线性方程组,的基础解系,,所以,可取,(彼此正交),将它们单位化:,则 ,,是正交组,,构造矩阵,则 为正交矩阵,,对角化为 :,并且使得,矩阵,于是,
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