1,第九章 向量自回归和误差修正模型,传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model，VEC)就是非结构化的多方程模型。,2,向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。,9.1 向量自回归理论,3,VAR(p) 模型的数学表达式是 (9.1.5)其中：yt 是 k 维内生变量向量，p 是滞后阶数，样本个数为T。kk 维矩阵 A1，Ap 是要被估计的系数矩阵。t 是 k 维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设 是 t 的协方差矩阵，是一个 (kk) 的正定矩阵。,9.1.1 VAR模型的一般表示,4,如果行列式detA(L)的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA()形式 (9.1.6)其中,5,对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估计量为 (9.1.7) 其中： 当VAR的参数估计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。,6,由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。,7,例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型 为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度2004年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为P(1990年=100)、居民消费价格指数变动率为PR(P/P-1 -1)*100)、实际GDP的对数，ln(GDP/P) 为ln(gdp) 、实际M1的对数，ln(M1/P) 为ln(m1) 和实际利率rr (一年期贷款利率R-PR）。 利用VAR(3)模型对 ln(gdp) ， ln(m1)和 rr，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。,8,EViews软件中VAR模型的建立和估计,1建立VAR模型 为了创建一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：,9,可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：,(2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间,(3) 输入滞后信息 在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对 1 4表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。,10,2VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：,11,表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(logGDPTC_P)的方程中RR_TC(-1)的系数是0.000354。 同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：,12,输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。 输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。,13,例9.1结果如下： 3个方程调整的拟合优度分别为： 可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。,14,同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei 表示第 i 个方程的残差，i =1，2，3。其结果如表9.1所示。 表9.1 残差的同期相关矩阵,15,从表中可以看到实际利率rr、实际M1的ln(m1) 方程和实际GDP的ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。,16,9.1.2 结构VAR模型(SVAR),在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有当期的内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为VAR模型的简化形式。本节要介绍的结构VAR模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。,17,1两变量的SVAR模型,为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量的VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式,(9.1.8),18,在模型(9.1.8)中假设： （1）变量过程 xt 和 zt 均是平稳随机过程； （2）随机误差 uxt 和 uzt 是白噪声序列，不失一般性，假设方差 x2 = z2 =1 ； （3）随机误差 uxt 和 uzt 之间不相关，cov(uxt , uzt )=0 。,式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(1)。,19,它是一种结构式经济模型，引入了变量之间的作用与反馈作用，其中系数 b12 表示变量 zt 的单位变化对变量 xt 的即时作用，21表示 xt-1的单位变化对 zt 的滞后影响。虽然 uxt 和 uzt 是单纯出现在 xt 和 zt 中的随机冲击，但如果 b21 0，则作用在 xt 上的随机冲击 uxt 通过对 xt的影响，能够即时传到变量 zt 上，这是一种间接的即时影响；同样，如果 b12 0，则作用在 zt 上的随机冲击 uzt 也可以对 xt 产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。,20,2多变量的SVAR模型,下面考虑k个变量的情形，p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为,(9.1.13),其中： , ,21,可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式,(9.1.14),其中：B(L) = B0 1L 2L2 pLp ，B(L)是滞后算子L的 kk 的参数矩阵，B0 Ik。需要注意的是，本书讨论的SVAR模型，B0 矩阵均是主对角线元素为1的矩阵。如果 B0 是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。,22,不失一般性，在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击) ut 的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式B(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA()形式 其中：,(9.1.15),23,式(9.1.15)通常称为经济模型的最终表达式，因为其中所有内生变量都表示为外生变量的分布滞后形式。而且外生变量的结构冲击 ut 是不可直接观测得到，需要通过 yt 各元素的响应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5)，转变简化式的误差项得到结构冲击 ut 。从式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到,(9.1.16),24,上式对于任意的 t 都是成立的，称为典型的SVAR模型。由于 C0 = Ik ，可得 式(9.1.17)两端平方取期望，可得 所以我们可以通过对 D0 施加约束来识别SVAR模型。,(9.1.17),(9.1.18),25,9.2 结构VAR(SVAR)模型的识别条件,前面已经提到，在VAR简化式中变量间的当期关系没有直接给出，而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。自Sims的研究开始，VAR模型在很多研究领域取得了成功，在一些研究课题中，VAR模型取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。然而，VAR模型存在参数过多的问题，如式(9.1.1)中，一共有k(kp+d)个参数，只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。,26,为了解决这一参数过多的问题，计量经济学家们提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数。SVAR模型就是这些方法中较为成功的一种。,9.2.1 VAR模型的识别条件,在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时，经常遇到模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数。,27,对于 k 元 p 阶简化VAR模型 利用极大似然方法，需要估计的参数个数为,(9.2.1),(9.2.2),而对于相应的 k 元 p 阶的SVAR模型 来说，需要估计的参数个数为,(9.2.4),(9.2.3),28,要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章的“12.1.2联立方程模型的识别”)。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。 对于k元p阶SVAR模型，需要对结构式施加的限制条件个数为式(9.2.4)和式(9.2.2)的差，即施加k(k -1)/2个限制条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是同期(短期)的，也可以是长期的。,