- 1 - 第十期：图形变换初中数学中的图形变换，主要包括轴对称变换（翻折变换） 、平移变换、旋转变换、相似变换（位似变换） 。由于图形变换问题常常与图形的 “ 运动 ” 相联系，因此解这类问题要求同学们掌握以下几种策略： 一是动中觅静， 即在图形运动变化中寻求不变量或不变关系， 在运动变化中探索问题中的不变性；二是动静互化，即抓住 “ 静 ” 的瞬间， 使一般情形转化为特殊问题， 从而找到 “ 动 ” 与 “ 静 ” 的关系； 三是以动制动。 即建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系一般占 6 分左右。知识点 1：平移变换例 1 ：弯弯囡收集了如图欣赏并说明下列各种商标图案，其中哪些是利用平移来设计的？思路点拨： 欣赏判断一个图案， 其中是否包含平移变换， 首先要观察是否包含平移所需的 “ 基本图形 ” ，然后观察平移的方向或平移的距离，即平移的方式 . 例 2：在平面直角坐标系中，将二次函数 22xy 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为（ ）A 22 2xy B 22 2xy C 2)2(2 xy D 2)2(2 xy思路点拨： 二次函数图象的平移是图形平移的一种特殊情况， 熟练掌握公式和口诀， 此类问题便不难解决了。对于二次函数的顶点式 2( )y a x h k 来说， h 值左加右减， k 值上加下减。答案： B 例 3：如图，在 5 5 方格纸中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）A先向下平移 3 格，再向右平移 1 格B先向下平移 2 格，再向右平移 1 格C先向下平移 2 格，再向右平移 2 格D先向下平移 3 格，再向右平移 2 格思路点拨： 找图形平移的方向和距离， 只要找图形中的某一点和它的对应点之间的平移（ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）图甲 乙图甲乙- 2 - 关系就可以了。答案选 D；例 4：如图，把 O1 向右平移 8 个单位长度得 O2，两圆相交于 A、 B，且 O1A O2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4 -8 B. 8 -16 C.16 -16 D. 16 -32 思路点拨： 此题是平移和圆的综合运用， 根据勾股定理可以求出圆的半径， 再根据扇形和三角形面积可以求解。答案选 B。练习：1. ABC 在如图所示的平面直角坐标系中，将 ABC 向右平移 3 个单位长度后得2.在如图所示的四个汽车标志图案中 ,能用平移变换来分析其形成过程的图案是 ( ) A B C D3.下列图形中，由原图平移得到的图形是（ ）原图 A B C D答案： 1.D 2.D 3.D 最新考题- 3 - 1.（ 2009 广东省广州市）将图 1 所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）2.（ 2009 湖北省襄樊市）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，将 ABC 向右平移两个单位长度得到 A B C ， 则与点 B 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）A 0 1，B 11，C 2 1，D 1 1，3. （ 2009 山 东 省 威 海 市 ） 如 图 ， ABC 和 的 D E F 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，90C F ， 2 4AB DE， 点 B 与点 D 重合，点 A B D E，（ ）， 在同一条直线上，将 ABC 沿 D E 方向平移，至点 A 与点 E 重合时停止设点 B D， 之间的距离为x， ABC 与 DEF 重叠部分的面积为 y ， 则准确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是 （ ）答案： 1.A 2.D 3.B. 知识点 2：轴对称变换例 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） y x O（ A）B C 图 2 - 4 - 思路点拨：根据概念求解即可。答案选 D。例 2：如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D， C 分别落在 D ， C 的位置若 EFB 65 ，则 AED 等于（ A） 70 （ B） 65 （ C） 50 （ D） 25思路点拨：此题主要考察轴对称的性质及平行线的性质，由 EFB 65 可知 DEF 65 ,从而 DED= 130 ，所以 AED =50。答案选 C 练习：1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）2.点 (3 5)p ， - 关于 x 轴对称的点的坐标为（ ）A ( 3, 5)- - B (5,3) C ( 3,5)- D (3,5)3.如图， ABC 与 A B C 关于直线 l 对称，且 78 48A C ， ，则 B 的度数为（ ）A 48 B 54C 74 D 784.在 ABC 中， AB=12， AC=10， BC=9， AD 是 BC 边上的高 .将 ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DEF 的周长为A B C A BC- 5 - A 9.5 B 10.5 C 11 D 15.5 答案： 1.C 2.D 3.B 4.D 。最新考题1.（ 2009 天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2y x x 关于 x 轴作轴对称变换， 再将所得的抛物线关于 y 轴作轴对称变换， 那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A 2 2y x x B 2 2y x xC 2 2y x x D 2 2y x x2.（ 2009 河北省）如图 2，等边 ABC 的边长为 1 cm， D、 E 分别是 AB、 AC 上的点，将 ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A 处，且点 A 在 ABC 外部，则阴影部分的周长为 cm答案： 1. C 2. 3知识点 3：旋转变换例 1：如图， P 是正 ABC 内一点，若将 PBC 绕点 B 旋转到 P BA，则 PBP 的度数是（）A 45 B 60 C 90 D 120A B C 图 2 D E AC B D A E F C B D(A) A - 6 - 思路点拨： 在旋转过程中， 如果某条线段绕旋转中心旋转一定的度数， 那么其它的点或线段也绕旋转中心旋转相同的度数。答案： B 例 2：设矩形 ABCD 的长与宽的和为 2，以 AB 为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（ ）A、最小值 4 B、最大值 4C、最大值 2 D、最小值 2思路点拨： 此题考核平面图形通过旋转得到立体图形的相关知识。 可以设矩形的其中一边为 x,通过列式配方求最大值即可。答案： C 练习：1.如图， Rt ABC 中， ACB=90 ， A=50 ，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A 处，折痕为 CD ，则 A DB （ ）A 40 B 30 C 20 D 102.将 Rt ABC( 其中 B 34 0 ， C 90 0）绕 A 点按顺时针方向旋转到 AB 1 C1 的位置，使得点 C、 A 、 B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）A.56 0 B.68 0C.124 0 D.180 0答案： 1. D 2.C 最新考题1.（ 2009 陕西省）如图， 90 30AOB B ， ， A OB 可以看作是由 AOB 绕点 O 顺时针旋转 角度得到的若点 A 在 AB上，则旋转角 的大小可以是（ ） A 30 B 45C 60 D 902.（ 2009 河南省）如图所示，在平面直角坐标系中，点 A、 B 的坐标分别为（ 2， 0）和（ 2， 0） .月牙绕点 B 顺时针旋转 900 得到月牙，则点 A 的对应点 A 的坐标为（ ）（ A） （ 2， 2） （ B） （ 2， 4） (C)（ 4， 2） (D)（ 1， 2）A BDAC34 0B 1C B A C1A O B A B- 7 - 3.（ 2009 山东省潍坊市）如图，已知 Rt ABC 中，90 30 2 3cmABC BAC AB ， ， ， 将 ABC 绕顶点 C 顺时针旋转至 A B C的位置，且 A C B、 、 三点在同一条直线上，则点 A 经过的最短路线的长度是（ ） cmA 8 B 4 3C 32 3 D 8 3答案： 1.C 2.B. 3.D 。知识点 4：位似变换例 1.下列说法不正确的是（ ）A位似图形一定是相似图形B.相似图形不一定是位似图形C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行思路点拨：本题考查位似图形与相似图形的关系以及位似图形的性质。答案选 D 例 2.下列说法正确的是（）A. 分别在 ABC 的边 AB ， AC 的反向延长线上取点 D， E，使 DE BC,则 ADE 是ABC 放大后的图形B.两位似图形的面积之比等于位似比C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比D.位似图形的周长之比等于位似比的平方思路点拨：位似图形一定是相似图形，所以位似图形具备相似图形的一切性质正确的是 C 练习：1.如果两个位似图形的对应线段长分别为 3cm 和 5cm，且较小图形周长为 30cm,则较大图形周长为 . 2.已知 ABC ，以点 A 为位似中心，作出 ADE ，使 ADE 是 ABC 放大 2 倍的图B C A AB- 8 - 形，这样的图形可以作出 个。他们之间的关系是 . 3 如图，点 D E F， ， 分别是 ( )ABC AB AC 各边的中点，下列说法中，错误 的是（ ）A AD 平分 BAC B 12EF BCC EF 与 AD 互相平分 D DFE 是 ABC 的位似图形答案： 1. 50cm 2. 2 个 全等 3. A 最新考题：（ 2009 福建省宁德市）如图， ABC 与 DEF 是似图位似比为 2 3，已知 AB 4，则 DE 的长为 _答案： 8. 过关检测一、选择题1.下列四副图案中，不是轴对称图形的是2.在下图右侧的四个三角形中，不能由 ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B. C. 4.把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角， 那么打开以后的形状是C O D E F A B AB DE FC . . . . A B C （ A） （ B） （ C） （ D）- 9 - （ ）A六边形 B八边形 C十二边形 D十六边形5如图， ABC 是等腰直角三角形， BC 是斜边，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与 ACP 重合，如果 3AP ，那么 PP 的长等于（ ）A 3 2 B 2 3C 4 2 D 3 36.在下列四种图形变换中， 本题图案不包含的变换是 （ ）A位似B旋转C轴对称D平移7.如图，下列分子结构模型平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4 8.如图，数轴上 A B， 两点表示的数分别为 1 和 3 ，点 B 关于点 A 的对称点为点 C ，则点 C 所表示的数是（ ）A 3 1 B 1 3C 2 3 D 3 29.已知：如图 ABC 的顶点坐标分别为 ( 4 3)A ， ， (0 3)B ， ， ( 21)C ， ，第 4 题图A B C 0 - 10 - 如将 B 点向右平移 2 个单位后再向上平移 4 个单位到达 1B 点，若设 ABC 的