定理1:,复习n维向量及线性相关性,或者，令,定义：,或者，令,推论2： mn时， m 个n维向量必线性相关.,推论3： n个n维向量线性无关,即 它们所构成方阵的行列式不为零.,（注：m个未知数，却只有n个方程）,例4的等价命题是: 若向量组a1,a2,.,am线性无关, 则其任一部分组都是线性无关的.,例4 证明:若向量组a1,a2,.,am中有一部分向量线性相关, 则该向量组线性相关.,证 不妨设a1,a2,.,ar线性相关(rm), 于是有不全为零的数k1,k2,.,kr使 k1a1+k2a2+.+krar=0,从而有 k1a1+k2a2+.+krar+0ar+1+.+0am=0,这就证明了a1,a2,.,as线性相关.,对一向量组, 如部分相关, 则整体相关, 如整体无关, 则任一部分必无关.,因此b1,b2,b3线性相关.,例5 设向量组a1,a2,a3线性无关, 又b1=a1+a2+2a3, b2=a1-a2, b3=a1+a3, 证明b1,b2,b3线性相关.,证 : 设 x1b1+x2b2+x3b3=0,即 x1(a1+a2+2a3)+x2(a1-a2)+x3(a1+a3)=0,(x1+x2+x3)a1+(x1-x2)a2+(2x1+x3)a3=0,由于a1,a2,a3线性无关, 必有,定理：如果一组n维向量a1,a2,.,am线性无关, 那么把这些 向量各任意添加t个分量所得到的新向量组也是线性无关;,这即是说对于上述不全为0的数k1，k2，km有,第3.4节 向量组的极大 线性无关组,线性代数,一、等价向量组,即,自反性：一个向量组与其自身等价；,对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价；,传递性： 与 等价, 与 等价，则 与 等价。,数学上一般将具有上述三种性质称为等价关系；,等价向量组的基本性质,(2),则向量组 必线性相关。,推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,简称极大无关组。,（2）任意r1个向量都线性相关。（如果有的话）,那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。,（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示,例如：在向量组 中，,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,例1 全体n维实向量构成的集合记为Rn，求Rn的一个最大无关组。,解: 因为n个单位坐标向量e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,，0), , en = (0,0,1)是线性无关的，,而Rn中任意向量都可用e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,，0), , en = (0,0,1)线性表示，,因此e1, e2 , , en 就是R n的一个最大无关组。,注: 以后称Rn为n维欧几里得空间，且称它的一个最大无关组为Rn的一组基。,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。,定理：,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作,例如： 向量组 的,秩为2。,1. 向量组的秩,（4）等价的向量组必有相同的秩。,关于向量组的秩的结论：,（1）零向量组的秩为0。,注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。,2. 矩阵的秩,2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。,定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。,例如：矩阵,的行向量组是,因为，由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,问题：矩阵的行秩 矩阵的列秩,引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列）,（1）对换矩阵A的两行,A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，所以矩阵A的行秩不变。,（2）用非零常数k乘以A的第i行,又等价的向量组有相同的秩，,即A的行秩不变。,（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上,所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。,引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行）,证：设矩阵A经过初等行变换变为B，,即存在有限个初等矩阵,使得,不妨设A的列向量组的极大无关组为,（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）,则,因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。,线性无关。,（2）再证B的列向量组中任一向量,可由向量组,线性表示。,是A的列向量组的极大无关组,使得,所以，B的列秩rA的列秩,综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理：矩阵的行秩矩阵的列秩,证：任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式，,而它的行秩为r，列秩也为r。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定义5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,2.2 矩阵秩的求法.,行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,行最简形矩阵：,在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。,例如：,注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。,解：看行秩,例2：求上三角矩阵的秩,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数,结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行 是线性无关就行了。,设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。,因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地变换列的顺序，不妨设,其中,显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。,加上任一零行即相关，所以矩阵A的秩矩阵A的行秩非零行的行数,求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,非零子式的最高阶数,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,求向量组的秩、极大无关组的步骤.,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。,（根据见引理2：初等行变换不改变列秩，且保持线性关系不变）,解：,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,2.3 矩阵秩的性质,重要性质：任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,3.矩阵的秩与行列式的关系,定理:,n阶方阵A，,即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）,A的n个行（列）向量线性无关,A的n个行（列）向量线性相关,例6 设n维向量组Aa1,a2,an 性无关, 讨论Bb1=a1+a2, b2=a2+a3, bn-1=an-1+an, bn=an+a1的线性关系.,证 : 向量组b1 ,b2, bn 可以由向量组a1,a2,an 线性表出 ，可以记为,性质1 r(A+B)r(A)+r(B),证 设A,B均是mn矩阵, r(A)=p, r(B)=q, 将A,B按列分块为,A=a1,a2,.,an, B=b1,b2,.,bn,于是 A+B=a1+b1,a2+b2,.,an+bn.,不妨设A和B的列向量组的极大无关组分别为a1,a2,.,ap和b1,b2,.,bq,于是A+B的列向量组可由a1,a2,.,ap, b1,b2,.,bq线性表示,因此, r(A+B)=A+B的列秩 r(a1,a2,.,ap, b1,b2,.,bq) p+q.,性质2 r(AB)min(r(A),r(B),证 设A,B分别是mn, ns矩阵, 将A按列分块,的列向量组 g1, . ,gs 可由A的列向量组a1,.,an线性表示,故 r(AB)=AB的列秩A的列秩=r(A).,类似地, 将B按行分块可得r(AB)r(B).,