,*第九节,一、二元函数泰勒公式,二、极值充分条件的证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的泰勒公式,第八章,一、二元函数的泰勒公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记号,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示,表示,定理1.,的某一邻域内有直,到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任,一点,则有,其中, 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,称为其拉格,朗日型余项 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,由,的麦克劳林公式, 得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,(1) 余项估计式.,因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界 M ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:,(3) 若函数,在区域D 上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求函数,解:,的三阶泰,勒公式.,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时, 具有极值,二、极值充分条件的证明,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A 0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,定理2 (充分条件),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意,则有,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是,(1) 当 ACB2 0 时,必有 A0 , 且 A 与C 同号,可见 ,从而z0 ,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时,若A , C不全为零, 无妨设 A0,则,时, 有,异号;,同号.,可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,机动 目录 上页 下页 返回 结束,+,+,若 AC 0 ,则必有 B0 ,不妨设 B0 ,此时,可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,(3) 当ACB2 0 时,若 A0,则,若 A0 ,则 B0 ,为零或非零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此时,因此,作业P67 1 , 3 , 4 , 5,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .,