,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、全微分方程,二、积分因子法,第十二章,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,一、全微分方程,则称,为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求解,解: 因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分因子法,思考: 如何解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成例2 的方程 .,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子.,例2 目录 上页 下页 返回 结束,常用微分倒推公式:,积分因子不一定唯一 .,例如, 对,可取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求解,解: 分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边 , 得,即,因此通解为,即,因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4,习题课1 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 解方程,解法1 积分因子法.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外, y = 0 也是方程的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入 ,得通解,此外, y = 0 也是方程的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法3 化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,即,此外, y = 0 也是方程的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,