一、重点： 1、根轨迹方程 2、绘制根轨迹的基本公式、基本法则,二、难点： 1、绘制复杂系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能 3、用根轨迹方法设计系统,三、考点： 1、绘制系统根轨迹 2、利用根轨迹分析系统性能,第四章 根轨迹法,4.1 基本概念,1.根轨迹,（1）定义 指当开环系统某个参数从零变化到无穷时，其相应的闭环系统的特征根在s平面上变化的轨迹。或指系统所有闭环极点在s平面上的集合。,例如，一单位反馈二阶系统，其开环传递函数为,当 K 从 0 时，s1、2 的变化情况分析如下：,则其闭环传递函数为,故 特征方程为,特征根为,(2) 系统性能与根轨迹的关系（教材P145） A. 稳定性； B. 稳态性能； C. 动态性能。,(3)开环增益K与根轨迹增益K* 的关系,因为开环传递函数可以有两种形式：,尾 1 型,其中， K-开环增益 -系统类型,首 1 型,其中: K*-根轨迹增益 Zj-开环零点（Zj =-1/j）Pi-开环极点（Pi=-1/ Ti）,开环传递函数可以有两种表达形式：,注意！ K与K*之间的转换,显然,2 根轨迹方程,根据定义及集合的概念，定义根轨迹方程为 1+G（s）H（s）=0 或 G（s）H（s） = -1 ，即：,由于 G（s）H（s） = -1 实际上是一个向量方程，故有,或者,（k= 0, 1, 2, ）,根据向量相等的条件，有：,（k= 0, 1, 2, ）,即有,(模值条件),(相角条件),其中，相角条件为确定根轨迹的充要条件。因为一般只要利用相角条件绘制根轨迹，只有在求K*时才用到模值条件。,或者,（k= 0, 1, 2, ）,同时满足模值条件和相角条件，可以确定根轨迹，还可以：,（1）已知根轨迹上的点，确定根轨迹参数K*；（2）已知根轨迹参数K*，确定根轨迹上的点（即闭环极点）。,42 绘制根轨迹的基本法则,1、180根轨迹的绘制法则（适用于负反馈,亦称为常规根轨迹）,(1) 法则1：根轨迹的起点与终点。根轨迹的起点（K*=0）是开环极点；终点（K*=）是开环零点。,法则1之证明：因为根轨迹方程有下列形式,将根轨迹方程变换成下列形式, 当K*=0时,有,（i=0，1，2，n）,即,亦即，此时的闭环特征根就是G（s）H（s）的开环极点，, 当K*=时，有,此时的闭环特征根就是G（s）H（s）的开环零点，,（j=0，1，2，m）,即,说明：设G（s）H（s）的开环零点数是 m ，开环极点数是 n 。,在无穷远处（在G（s）H（s）没有出现）的零、极点称为无限零、极点；,故 根轨迹的起点（K*=0）是开环极点。,故 根轨迹的终点（K*=）是开环零点。,当mn时，将有 n-m 条根轨迹的终点在无穷远处；,当mn时，将有 m-n 条根轨迹的起点在无穷远处。,在G（s）H（s）出现的且数值有限的零、极点称为有限零、极点；, 连续性。根轨迹在s平面上是连续的。这是因为当K*时，系统的特征根是连续的。, 对称性。根轨迹在s平面上是关于实轴对称的。这是因为当K*时，系统的特征根是实数或共轭复数。, 根轨迹的分支数。由1+G（s）H（s）=0的阶次数决定。,(2) 法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性。,（3）法则3： 根轨迹的渐进线。(证明参见P149-),设 nm ，则有n-m条渐进线，它们与实轴的交点a和交角a分别为：,(k=0，1，2，n-m-1),（4）法则4： 实轴上的根轨迹。,根据相角条件，实轴上的根轨迹只能是那些在其右边的开环实数极点与开环实数零点的总数为奇数的线段区间。,（5）法则5： 根轨迹的分离点（也叫会合点）及分离角。,1）分离点 求取根轨迹分离点的方法主要有两种：, 重根法：若已知系统的G（s）H（s），则分离点可由下式求得：, 试探法：设zj、pi分别为系统的开环零点和开环极点，则分离点可由下式求得：,或者,注意根轨迹分离点产生的情况（P152说明）,说明： 上述两种方法求出的根是否为分离点，要分情形进行确定：,若求出的根是实数，要根据 “法则4 实轴上的根轨迹” 进行确定；,2）分离角： 由下式来求取。,例题1 教材P153例题4-1、例题4-2。,其中 l 为分离点处的分支数；在多数情况下，l= 2 或4等。,（k=0，1，2，l-1）,（6） 法则6： 根轨迹的起始角/出射角与终止角/入射角。,起始角（出射角）：复数开环极点处，根轨迹切线方向与正实轴的夹角，以Pi表示。,若求出的根是复数，则要根据 “模值条件” 进行验证确定。,- m个开环零点中第j个零点zj到第i个极点 pi 的相角,- n个开环极点中扣除第i个以后其余的第j 个极点pj到第i个极点pi的相角,n 、m分别为开环极、零点数,（k=0，1， 2，）,其中,终止角（入射角）：复数开环零点处，根轨迹入射方向与实轴的夹角，以zi表示。,n 、m分别为开环极、零点数,（k=0，1， 2，）,- m个开环零点中扣除第i个以后其余的第j个零点zj到第i个零点zi的相角；,- n个开环极点中第j 个极点pj到第i个零点zi的相角；,其中, 纯虚数法：,即由 D（j）= 0 求得，即：,直接令s=j代入D（s）=1+ G（s）H（s）=0,求得 K* 及 ，则s1，2= j为根轨迹与虚轴的交点。, 劳斯判据法：,令劳斯表第一列元素中含有K*的项等于零求出K*值后，由s2项系数构成的辅助方程求得共轭的纯虚根s1、2= j，即为根轨迹与虚轴的交点。,（7）法则7： 根轨迹与虚轴的交点。,求取根轨迹与虚轴的交点也有两种方法：,例题2 教材P155 例题4-3,即Re1 + G（j）H（j）+ j Im1 + G（j）H（j）=0,例题3 设某反馈系统的开环传递函数为,试确定绘制系统概略根轨迹图。,解,（1）系统开环极点为,p1=0，p2=-1，p3=-5,系统无有限开环零点。即 n=3，m=0,根据法则1、2可知，系统有3条根轨迹分支、并分别起始于上述3个开环极点、终止于无限远处。,（2）根轨迹的渐近线,(k = 0，1，2),（3）实轴上的根轨迹的区间：,（-，-5及-1，0,（4）根轨迹的分离点、分离角,根据实轴上根轨迹分部情况，可知在-1，0之间存在分离点，并设其为d，则由公式(方法一),得,即 3d2+12d+5=0,所以 d1=-0.472，d2=-3.53（舍去d2）,分离角 d= 90,方法二,重根法。利用,即 3s2+12s+5=0,所以 d1= s1= - 0.472 （舍去s2）,（5）根轨迹与虚轴的交点,因为系统的特征方程为,D(s) = s (s+1) (s+5) + K = 0,D(s) = s3 +6s2+5s+ K = 0,即,令 s=j代入上式，得,（j）3 +6（j）2+5（j）+ K = 0,（K - 62）+ j(5 - 3） =0,整理得,分别令实部和虚部等于零，并解得,所以，根轨迹与虚轴的交点为(除原点),以上为方法之一，还可以利用劳斯判据求解。,综上所述，绘制根轨迹如右图。,(8) 法则8: 闭环极点（根）的和与积 。,设系统开环传递函数具有以下形式,有,(n-m2时),则,闭环根的和（它等于开环极点的和）,闭环根的积,对于稳定系统而言，根的积就是系统参数K:,研究根的和与根的积的意义： 1） 已知系统部分闭环极点时，可以确定其余的闭环极点的分布及对应的系统参数K值； 2） 判断根轨迹的走向。因为a1是常数，所以，当K增加时，若有一部分闭环根向s平面左边移动，则另一部分根一定向s平面右边移动。,例题4 已知系统,试绘制系统的根轨迹，并求出根轨迹与虚轴相交时的系统所有闭环特征根及相应的开环增益。,解 ： 1） 系统的开环极点为 p1=0，p2=-1，p3=-2,2） 系统应有三条根轨迹分支。 (因为n=3,m=0),3） 实轴上的根轨迹 （-，-2，及-1，0,4） 渐进线,(k=0，1，2),5）分离点,根据实轴上根轨迹分部情况，可知在-1，0之间存在分离点，并设其为d，则由公式(方法一),得,即 3d2+6d+2=0,6) 起始角 p1 = 180+-(0+0)= 180 p2 = 180+-(0+180)= 0 p3 = 180+ -(-180+180)= 180,7) 根轨迹与虚轴的交点,直接令s=j代入D（s）=K+ s(s+1)(s+2)=s3+3s2+2s+K=0,得 Re1 + G(j)H(j)=K-32=0 Im1 + G(j)H(j)=2-3=0,所以 d1=-0.422，d2=-1.578（舍去d2）,分离角 d= 90,即 1=0 , 2,3=,所以，根轨迹与虚轴的交点为(除原点),相应地, K1=0 , K2=6,由 1)8)可绘制根轨迹图如下:,9) 根轨迹与虚轴相交时系统的 开环增益K,8) 由于K=6时,根据法则8, 有s1+s2+s3 = a1 = 3所以, s3 = 3 (s1+s2) = 3,例题5 (教材P156例题4)已知,解 1） 系统的开环极点为 p1=0， p2=-3 ， p3，4= -1j,2） 系统应有四条根轨迹分支(因为 n=4, m=0),3） 实轴上的根轨迹 -3 ，0,4） 渐进线,试绘制系统的概略根轨迹; 求出K=4时系统的闭环极点。,(k=0，1，2，3),5） 分离点,（实数分离点应在-3 ，0内）,得,由试探法得: d -2.3,6) 起始角,P3 = 180(p3p1)+ (p3p2)+ (p3p4),由,同理 p4 = 71.6,7) 根轨迹与虚轴的交点,直接令 s=j 代入 D(s) = s4 + 5s3 + 8s2 + 6s + K = 0,得 ReD(j)= 4 - 8 + K = 0,= 180(135+ 26.6+ 90) = 71.6,ImD(j)= 6-53 = 0,即 1 = 0时, K1 = 0 2,3 = 1.1时 , K2 = 8.16,综上所述，绘制根轨迹如下, 当K=4 时,利用模值条件,有：,即,所以,先在实轴上任选一点 s 进行试探,可得两个实数极点:,s1= -2 , s2= -2.52,再将 K=4, s1=-2 ,s2= -2.52代入特征方程，应满足:,故求得 s3、4 = - 0.24 0.86j,s4 + 5s3 + 8s2 + 6s +4 = (s + 2)(s + 2.52)(s - s3)(s - s4) = 0,例题6.己知单位反馈系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹图。,解 （分析略）,根轨迹为,例题7 设某控制系统的方框图如图所示。试绘制参变量K由0变至时的根轨迹图。,（上述“例题6”还可以有以下形式）,注：因为系统的开环传递函数为,（分析略）,例题8.己知系统的开环传递函数为,（1）、绘制系统的根轨迹图。（2）、为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定K的取值范围。,