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推理是由一个或几个判断得出另一个新的判断的思维 形式(思维过程)。其中已知的判断前提 新的判断结论 列出前提H1,H2, ,Hm与结论C论证逻辑的主要功能是提供推理的规则或论证的原理。从一组给定的前提出发,根据推理规则得到的结论称为有效结论,论证才是有效的。建立逻辑学的主要目的在于探索出这一套完整的规则,按照这些规则,就可以确定任何特定论证是否有效。,1.5 推理规则与证明方法,设H1,H2,Hm()和都是命题公式。若( H1H2 Hm ) 为永真式, 即 H1H2 Hm ,称由前提H1,H2, ,Hm推出结论C的推理正确(有效)。 称为前提H1,H2, ,Hm的有效结论或逻辑结果。 H1H2 Hm 称为 由前提H1,H2, ,Hm推出结论C的推理的形式结构。,一、推理的基本概念,例1-5-1 1 如果天下雨,小王就不去跑步。 今天天下雨,所以小王没去跑步。解: 设 P:天下雨。 Q:小王去跑步。 前提:PQ, P 结论: Q 推理的形式结构为:(PQ)P Q2 如果我上街,我一定去新华书店。 我没上街,所以我没去新华书店。解: 设P:我上街。 Q:我去新华书店。 前提:PQ, P 结论: Q 推理的形式结构为: (PQ)P Q,推理的符号化实例,根据定义:由前提H1,H2, ,Hm推结论C的推理正确(有效)即: ( H1H2 Hm ) 为永真式, 即 H1H2 Hm 可知,判断推理是否正确的方法就是判断永真式 或永真蕴含式的方法。基本方法有:1 真值表法2 等值演算法3 主析取范式法4 指派分析法(永真蕴含式),二、基于定义的推理,例1-5-2 判断下列推理是否正确: 如果天下雨,小王就不去跑步。 今天天下雨,所以小王没去跑步。 解:设 P:天下雨。 Q:小王去跑步。 前提:PQ,P 结论:Q 推理的形式结构为:(PQ)P Q 判断(PQ)P) Q (*) 是否为永真式 或 (PQ)P Q 是否成立。,步骤:先将命题符号化然后写出前提、结论和推理的形式结构最后进行判断,1 真值表法,真值表的最后一列全为1,因而(*)是永真式。所以推理正确。,真值表技术:给定一个前提集合和一个结论,用构成真值表 的方法,在有限步骤内判定给定前提是否能推 导出该结论的这种方法,称为真值表技术 。,(PQ)P) Q (PQ)P) Q (PQ)P)Q (PPQ)(QPQ) TT T因而(P Q)P) Q (*)是永真式,推理正确。,2 等值演算法,(PQ)P) Q (PQ)P) Q (PQ) P Q (PQ)(P(QQ) )( (PP)Q) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ) (0,1,2,3 )因而 (*) 是永真式,推理正确。,3 主析取范式法,即要判断(PQ)P Q证明:假设前件(PQ)P 为真, 则P为真,且(PQ)为真,所以Q 为真。 故(PQ)P Q成立, 推理正确。,4 指派分析法 (永真蕴含式),基于定义进行推理的不足:1 如果命题公式的变元较多,以上四种方法都不方便 。 (n个变元, 2n种指派)2 与自然生活和传统数学中的推理形式无相同之处。3 过于机械,对培养推理能力和推理技巧毫无帮助。,形式证明:对由前提H1,H2, ,Hm推结论C的推理, 构造一个描述推理过程的命题公式序列,其中 每个命题公式或者是已知的前提,或者是由某 些前提应用公认的推理规则所得到的结论,序 列中最后一个命题公式是所要求的结论。 这样的命题公式序列称为形式证明。形式证明的格式:形式证明是按行进行的,而且每行只能 写一个命题公式。一般为: 标号部分 命题公式 说明部分,三、基于规则的推理,推理过程中使用的构造公式序列的规则:规则P(前提引入规则):在推导的任何步骤上,都可以引入前提。 规则T(结论引入规则):在推导过程中,如果前面有一个或多个命题公式永真蕴含命题公式 S,那么就可以把公式 S 引进推导过程中。 代入规则:在推导的任何步骤上,永真式中的任一命题变元都可以用任一命题公式代入,代入后得到的仍是永真式。置换规则:在推导的任何步骤上,命题公式中的任何子公式都可以用与之等值的命题公式置换。常用的推理公式:在表1.2-2中列出的永真蕴含式。 在表1.2-1中列出的逻辑等价式。,常用的推理规则,1直接证明法 由已知的前提H1,H2, Hm出发,利用一些公认的推理规则,根据已知的逻辑等价式和永真蕴含式,推导出有效结论C。,证明方法,推理:H1H2 Hm C,2间接证明法 将已知的前提和结论进行适当的改造,转化为对新的前提和结论进行推理证明。 常用的技巧有:附加前提证明法和反证法。,例1-5-3 检验下列推理的有效性。 如果马会飞或羊吃草,则母鸡就会是飞鸟; 如果母鸡是飞鸟,那么煮熟的鸭子还会跑; 煮熟的鸭子不会跑,所以羊不吃草。解:设P:马会飞。 Q:羊吃草。 R:母鸡是飞鸟。S:煮熟的鸭子会跑则前提为:(PQ)R , RS ,S 结论为:Q 推理的形式结构为: (PQ)R)(RS)(S) Q,1. 直接证明法,证明:(1) S 规则P (2) RS 规则P(3) R (1)(2) 拒取式,规则T(4) (PQ)R 规则P(5) (PQ) (3)(4) 拒取式,规则T(6) PQ (5) 德摩根律,替换规则,规则T(7) Q (6) 简化式,规则T 所以推理正确 Q:羊不吃草有效结论,但不是正确的结论。 P:马不会飞有效结论,而且是正确的结论。,有效是指结论的推出是合乎推理规则的,并不在于 结论是否真实。,第一列是步骤列, 将各次操作按先后排序;第二列是断言列或命题公式列, 内容可以是前提, 中间结论或最终结论;第三列是注释列或根据列,表明所引用的推理规则及与之有关的行的编号.第三列是形式推理的特点与优点.,例1-5-4 证明 RS是前提CD,CR,DS的 有效结论,即证明: (CD)(CR)(DS)(RS)。 证明: (1) CD 规则P (2) CD (1)蕴含等价式,规则T (3) DS 规则P (4) CS (2)(3)前提三段论,规则T (5) CR 规则P (6) RC (5) 逆反律,规则T (7) RS (4)(6)前提三段论,规则T (8) RS (7)蕴含等价式,规则T,2. 间接证明法,附加前提法(CP规则) 当待证的有效结论是一个PQ 类型的条件命题时,可以将有效结论中的前提P 单独提出来加到前提中去,然后证明剩下的后件Q 是附加了前提之后的新的一组前提的有效结论。这种附加前提的证明方法称为 CP规则。即:H1H2 Hm (PQ)的充要条件是 H1H2 Hm PQ。,证明: 要证 H1H2 Hm (PQ) 即证(H1H2 Hm) (PQ) T 同样,要证 H1H2 HmP Q 即证(H1H2 HmP)Q T 而( H1H2 Hm )(PQ) (H1H2 Hm P)Q (输出律),例1-5-5 证明:RP是前提PQ,QR的有效结论。 分析:要证明:(PQ)(QR) RP 采用附加前提证明法,转化为证明: (PQ)(QR)R P证明: (1) R 规则P(附加前提) (2) QR 规则P (3) Q (1),(2)拒取式,规则T (4) PQ 规则P (5) P (3),(4)拒取式,规则T (6) RP CP规则 由CP 规则,得: (PQ)(QR) RP,课内练习 1-5-1 证明推理:P(QR),Q(RS) P(QS)分析:由CP规则 P(QR),Q(RS) P(QS)等价于 P(QR),Q(RS),P QS再由CP规则,等价于 P(QR),Q(RS),P,Q S,证明:(1) P 规则P(附加前提) (2) P(QR) 规则P(3) QR (1),(2)假言推理,规则T(4) Q 规则P(附加前提) (5) R (3),(4)假言推理,规则T(6) Q(RS) 规则P(7) RS (4) (6)假言推理,规则T(8) S (5),(7)假言推理,规则T(9) P(QS) CP规则由CP 规则,有: P(QR),Q(RS) P(QS),例1-5-6 采用附加前提法证明例1-5-4 : (CD)(CR)(DS)(RS)。分析:由PQ PQ, 得 RS RS 由CP规则,等价于要证明 CD,CR,DS,R S证明: (1) R 规则P(附加前提) (2) CR 规则P (3) C (1),(2)拒取式,规则T (4) CD 规则P (5) D (3),(4)析取三段论,规则T (6) DS 规则P (7) S (5),(6)前提三段论,规则T (8) RS CP规则 (9) RS (8)蕴含等价式,规则T,
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