资源预览内容
第1页 / 共12页
第2页 / 共12页
第3页 / 共12页
第4页 / 共12页
第5页 / 共12页
第6页 / 共12页
第7页 / 共12页
第8页 / 共12页
第9页 / 共12页
第10页 / 共12页
亲,该文档总共12页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
定积分复习要点变上限定积分求导数 ,定积分的计算牛顿莱布尼兹公式, (用到不定积xadtf)(分主要公式 、 、 、 、 ,凑微分法) 。对称区间奇偶函dtt1ettsintdcos数的定积分,定积分的几何意义, , 收敛、发散的充要条件。定积分应用:0xa1求平面曲线所围成图形的面积,已知边际收益,求总收益即平均收益(课本 254 页例7、265 页第 26 题、第 27 题) 。第六章定理 6.1 如果函数 在a,b 上连续,则函数)(xfadtp对积分上限 的导数,等于被积函数在上限处 的值,即x(直接把 里面的 换成 就可以了))()()(ftfxxa )(tftx例题: xxted202牛顿莱布尼兹公式: (其中 为连续函数,)()()( aFbxFdfaba )(xf是 的一个原函数))(xFf五个主要公式: Ctat1d2tt3C431tdt232 ttln1 Cedt ttcossi Cttdsinco凑微分法例题: )1(21)(2100202 aaxax exee判断无穷限广义积分敛散性:积分求出结果为常数的,为收敛;积分求出结果为无穷的,为发散。因为画图比较麻烦,所以求平面曲线所围成图形的面积部分的图形就省略了。例 1:求由抛物线 ,直线 以及 轴所围成的平面图形面积。2xyx解:画出抛物线和直线,如图(略)设所围成的平面图形的面积为 S。则 3812920xdS例 2:设平面图形是由区县 和 所围成,求此平面图形的面积 S。2yx解:画出平面图形,如图(略)则 29)312)2(12 dxS(例 3:计算 , 所围成的平面图形的面积。xyy解:画出平面图形,如图(略)设平面图形的面积为 S则 31)32()( 0210 xdx已知边际收益,求总收益及平均收益(课本 254 页例 7、265 页第 26 题、第 27 题) 。边际收益积分还原就是总收益,总收益比上 就是平均收益。第八章 多元函数复习要点求已知多元函数的偏导数及全微分,求隐函数的一阶偏导数及全微分,半抽象函数的一阶偏导数,求一个已知二元函数的极值。直角坐标系下 的计算及交换二Ddxyf),(次积分的顺序。多元函数的偏导数: xyffxz),(),(0000limli对 的偏导数记号: (主要) 、 (主要) 、 、 ,xxZxz),(yxfxyf),(yffyz),(),(0000limli对 的偏导数记号: (主要) 、 (主要) 、 、 ,yZz),(yxff),(例 1: ,求 、 。325),(xfzxyZ, 32105yxZ 323215x(求对 的偏导数时,把 当成常数;求对 的偏导数时,把 当成常数)x例 2: ,求 、 。yez2xZy, 。 xyxZ yyyyy eexe222)(当成常数的变量先写下来,其他变量如同一元函数那样求导) 。练习: 教材 365 页第 5 题(1) (2)小题2z32yxez2zxy全部都是求 、 。xZy全微分公式: 。dyzdz例题:求函数 的全微分。 ( )xye 1.0,5.,12yxx第步:求出对 、 的偏导数 解: , ,yezxez第步:代入全微分公式: dydyxdzxxy如果有具体数值, 、 、 、 等于什么,那么就需要进行第 步。xy第步:把具体数值代入 式子里面,求出 答案dzdz当 时,1.0,5.,12yxyx 222 05.)1.(5.0ee练习: 求 , 求 。zz2xez半抽象函数的一阶偏导:复合过程 , 求 、 。2(,),yZfuvxexZy这种偏导的公式: xvuxf vuyf第步:求出 u、v 对 、 的偏导数 解:y 2,2, xvexyeyyx 第步:把 代回公式 所以 yx, fZvu2xefyy第二种: 求 、 。yxeufz),(xZy这种偏导的公式: xxfZ yuf第步:求出 u 对 、 的偏导数 解:yxxe,第步:把 代回公式 所以 yx, xyufZyuyfefZ练习: 求 , 。 教材 365 页第 17 题第(1)小题),(2fxzy求一个已知二元函数的极值:首先需要记住定理 8.4、8.5定理 8.4(极值存在的必要条件) 如果函数 在点 处有极值,且两个一阶),(yxf),(0偏导数存在,则有 0),(yxf 0y定理 8.5(极值存在的充分条件) 如果函数 在点 的某一邻域内有连续的),(xf),(0y二阶偏导数,且 是它的驻点,设 ),(0yx),(,2yxffypxxy则 (1)如果 且 ,则 是极大值;p0),(xf ),(0f(2)如果 且 ,则 是极小值;),(0yxyx yx(3)如果 ,则 不是极值;),(0f(4)如果 ,则 是否为极值需另法判断。),(0yxpyx例题:求函数 的极值。5126,23f第步:求出 对 、 的偏导数)(yx 解: 62),(xyfx 123),(yxfy第步:由 和 得出驻点坐标。00),(fy由 , 得驻点(3,2) , (3,-2)),(xyfx 2x第步:求出 ),(),(),(yfffxxy02x yxfy6),(第步:求出 ,),(yxp12由于 所以(3,2)不是极值点;04),3(p第步:当 成立,判断 大于零或者小于零(大于零为极小值,小),(0yx),(0yxf于零为极大值)2),3(xf第步:把取得极值的极值点代回 ,算出结果),(yxf0),(f所以 在点(3,-2)处函数有极大值 30)2,(f练习:教材 365 页第 19 题第(1) (2) (3) (4)小题。二重积分的计算:例题 1:计算 ,其中 D 由 , , 围成。Ddxy)4( 0xy2yx第步: 解:画出 D 的区域,如图所示(图形略)第步: D 可表示为 ( 略)xy2020y第步: 则 02)4()4(D ddx38)356()( 2022020 xxyx例题 2:计算 ,其中 D 由 , , 围成。Dxyd3xxy1第步: 解:画出 D 的区域,如图所示(图形略)第步: D 可表示为 xy1第步: 则 31xDdxd3ln210)ln28()2( 314311 yx练习:教材 367 页第 29 题交还二次积分的顺序:例题: exdyf1ln0),(第步: 解:依题意 D 可表示为 xyeln01第步: 画出 D,如图所示(图形略)第步: 所以 D 也可表示为 1ye第步: 则 交换二次积分顺序后,化为 。exdf1ln0),( 10),(eydxf练习:教材 367 页第 27 题第九章 微分方程复习要点一阶微分方程:可分离变量微分方程求解,一阶线性非齐次微分方程的求解(公式法、常数变易法) 。一阶微分方程,可分离变量微分方程求解:例题 1: 0xdy第步: 解: 即 (把 和 放到一边, 和 放在一边)yxddxyd第步: 两边积分 得 Cxy221即 (C 乘以 2 之后还是任意常数,仍用 C 表示)例题 2: xd第步: 解: y第步: 两边积分 xd得 cylnln1即 xc(涉及高中公式: , , ) c 为常数yll cxlexln练习:求下列微分方程的通解:0)1()212dxy( 01dyxy一阶微分方程,一阶线性非齐次微分方程的求解(常数变易法):基本步骤: )(qyp 求对应于方程的齐次方程的通解。即 的通解 (这是可分离变量微分方程)0)(xy分离变量得 y)(两边积分得 xce)( 设 ,求出 。 ( 运用乘法公式求得,前导后不导加上前不导后导)Cy)(y 将中的 和 代入 ,求得 。 )(xq )(xC再积分,求得 。 (记住 积分后的答案要加 C))(x 将中求得的 代入的 中。Cey)(得出的答案便是此微分方程的通解。例题:求一阶线性微分方程 的通解。3)1(2xy第步: 解:由 分离变量得01xy2d两边积分得 cxyln)1l(n2即: c第步: 令 2)(xy则 )1(1xcc第步: 将代入原方程得)(x积分得 cc21)第步: 将 代入中,求得原方程的通解。x(通解为 22)1(cy练习:求下列各微分方程的通解:, 。xeyd2xed线性代数部分复习要点计算行列式,矩阵乘法。利用行变换求矩阵的秩,方阵可逆的充要条件,求二阶方阵、三阶方阵的逆矩阵,非齐次线性方程组 无解、有解、有唯一解、有无1mnBXA穷多解的充要条件,一个具体的线性方程组的求解。计算行列式:死算: (左上乘右下减去左下乘右上)21121-aa 3123213213213213213231 - aaaa记法可见教材。转置 :将一个行列式 行作为列,其余不变。 ( )TDTD余子式 :去掉行列式 第 行第 列,剩下部分作为一个新的行列式。ijMDij代数余子式 :ijAijiijM)1(-二、三阶行列式的性质需要记忆。降阶法:(运用到行列式性质 1.8) 12111121212112 nnnnnn AaAaAaaaD 例题:计算行列式 。15023-3-4D解: 15204)(-15024-1502-34- 13 cD-9)(8)(-42为什么要把某行或者某列中的一些非零常数化成零? 中nAaAa1121如果 都不为零,那么计算就会相当复杂,需要计算很多个行列式;而如果只na121,留下一个 不为零(n0 自然数) ,其他均为零,那么我们只需要计算一个降阶后的行列式。矩阵乘法:矩阵 和 的乘积要有意义,有个前提条件, 的列数等于 的行数。ABAB在矩阵乘法里,归纳为四个字, “前行后列” 。它有两个意义,在例题中点出。例题 1: ,计算 。12707532-4B, 496-AB( 的第一行分别乘 的第一列,加起来就是乘积的第一行第一列的值,其它相似,这是B第一个意义)即 。 4963510275-13427053-14)(AB例题 2: ,计算 。1B, , AB03213AB(矩阵 和矩阵 的乘积,最终得出 的行数是 的行数、列数是 的列数。即像例题ABB1 中, 的行数为 3 行 的列数为 1 列,那么求得的 为 3 行 1 列的矩阵;例题 2 中,的行数为 1 行 的列数为 1
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号