嘉 应 学 院本科毕业论文（设计）（2014 届）题 目： 有理数域上的多项式的因式分解 姓 名： 江志会 学 号： 101010100 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 许鸿儒 申请学位： 学士学位 嘉 应 学 院 教 务 处 制摘 要在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。关键词：有理数域, 可约, 因式分解AbstractIn polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.Key words： rational number field, reducible, factorization目 录1 有理数域上的多项式基本内容 .11.1 多项式因式分解的基本概念 .11.2 本原多项式 .21.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 .52 多项式的有理根及因式分解 .72.1 多项式在有理数域上的性质 .72.2 多项式有理根的判定 .82.3 多项式有理根的求法及因式分解 .112.4 因式分解的特殊解法 .13参考文献 .15有理数域上的多项式的因式分解11 有理数域上的多项式基本内容1.1 多项式因式分解的基本概念在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如： ；在此基础上，通531过类比,我们得到因式分解的一般定义：定义 1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。例 1 分解 的因式4x在有理数域中，它的分解式是： ，分解到这里就不能再继续分解，)2(2x不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：)2()2(xx。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，)(ii再理解其不能再分的含义。所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。定义 1.1.2 给定 的任何一个多项式 ， 对于 F 中的任何一个不为零的元XF)(xf素 。 是 的因式。 也是 的因式，我们把 的这样的因式叫作它c)(xfc)(xff )(xf的平凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式） 。例 2 。设 2)3()(,1)( xxgxf由定义可以知道 只有平凡因式， 有非平凡因式f g因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的。有理数域上的多项式的因式分解21.2 本原多项式定义 1.2.1 若是一个整系数多项式 系数互素，那么 叫作一个本原多项式。)(xf )(xf引理 1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。证 设给了两个本原多项式 mixaxaf 10)( njbbxg并且 nmjixcxccf 10)(如果 不是本原多项式，那么一定存在一个素数 ，它能整除所有系数 ,)(xgf p,10c, 由于 和 都是本原多项式，所以 不能整除 的所有系数，也不能整除mncf)( )(xf所有系数。令 a 和 b 各是 和 的第一个不能被 整除的系数。我们考察)(xgij)(xfgp的系数 ,们有fjci 0110 bababajijijijijiji 这等式的左端被 整除。根据选择 和 的条件，所有系数 以及pij 10,i 01bj都能被 整除，因而等式右端除 这一项外，其它每一项也都能被 整除。因此乘积ij pia也必须被 整除。但 是一个素数，所以 必须整除 或 .这与假设矛盾。jb piajb设 是有理数域上的一个多项式。若是 的系数不全是整数，那么以 系数)(xf )(xf )(xf分母的一个公倍数 乘 ，就得到一个整系数多项式 。显然，多项式 与c)(xf )(cf在有理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论有理数域上多项式的可约性时，)(xcf只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可约。设 是有理系数多项式，选取适当的整数 乘以011)( axxafnin c，总可以使 是整系数多项式，如果 的各项系数有公因式 ，可以提出来，x)(cf )(xcf d有理数域上的多项式的因式分解3即 ， ，其中 是各项系数互质的整系数多项式。)(xdgcf)(xgcdf)(x例 3 ，这里 。6152522424 615)(24xxg所以 中的非零多项式，与 中的本原多项式有紧密的联系。QxZx定理 1.2.1 设 ，且 。则存在一个有理数 使 是 中本原多()fx()0f0a()fxZ项式。此外，如果有理数 ，使 也是本原多项式，则 。bbfx b实际上，设 ，这里 都是有理数且110().nnfxaan,.10。取整数 使 都是整数，并令 ，则0nac01,.nc 01(,.)ndcaca01().ncafxxdd便是 中本原多项式。Zx此外，如果有理数 ，使 ，及 都是本原多项式，则,ab()fxg()bfxh，因 都是本原的，故 必须是整数，并且没有素因子，从而 ，()()bgxha(),gxha 1ba即 。这表明， 中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。Q定义 1.2.2 设 。如果 在 上仅有平凡因式的分解，即不能分(),deg1fxZf()fxZ解为 中两个正次数多项式的积，则称 为 中不可约多项式。否则称 在Zx f ()fx上可约 (或可分解 )。例 4 是不可约的，而 在 上可约。22xZ研究 在 上是否可约，显然只需考虑 是本原多项式的情形。我们注意到，如()fx ()fx果 在 上可分解，因 ，则它在 上当然是可约的。下面的结果表明，反过来的()fZZQ结论也成立。定理 1.2.2 设 是本原多项式，如果 在 上可约，则 在 上也可约。()fx()fxQ()fxZ确切地说，设 ，这里 ，且 ，则存在有理数()()fxghx(),gxhxdeg,1h使得：a, 且 1()()()fxagxh1(),agxhZx有理数域上的多项式的因式分解4事实上，由定理 1.2.1 知，存在有理数 ，使得 和 都是,ab1()()agx1()()bhx本原多项式。于是 1()()abfxghx由引理 1.2.1， 是本原多项式，而 也是本原多项式，故 必须是整数，1()gxhf ab且没有素因子，即 。因此， 和 都是(本原的)整系数多项式，证毕。ab()agxh因此， 中的多项式在 上是否可约，与它在 上是否可约是一回事。xZZQ定理 1.2.3 若是一个整系数 n(n0)次多项式 在有理数域上可约，那么 总可以()fx ()fx分解成次数都小于 n 的两个整系数多项式的乘积。证明： 设 )()(21xgxf这里 与 都是有理数域上的次数小于 n 的多项式。令 的系数的公分母)(1xg)(2 )(1xg是 .那么 = ,这里 是一个整系数多项式。又令 的系数的最大公因数1b1xhb)( h是 那么1a )()(11xfbag这里 是一个有理数而 是一个本原多项式。同理，1ba)(1xf )()(22xfbag这里 是一个有理数而 是一个本原多项式。于是2ba)(2xf )()()( 21212 xfsrxfbaf 其中 与 是互素的整数，并且 。由于 是一个整系数多项式所以多项式rs0s()f )(1xf的每一系数与 的乘积都必须被 整除。但 与 互素，所以 的每一个)(2xfr rs)(1f2有理数域上的多项式的因式分解5系数必须被 整除，这就是说， 是多项式 的每系数的一个公因数。但ss)(1xf2 )(1xf是一个本原多项式，因此 而)(2xf 12()()fxrfx和 显然各与 和 有相同的次数，这样， 可以分解成次数都小于)(1xrf)(2f)(1xg2 ()fxn 的两个整系数多项式的乘积。1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法由上一节知令 是整数环上一个大于零次的多项式。如果 在整数环上可约，即()fx ()fx存在整数环上次数都小于 次数的多项式 , ，使得 = ，那么 ，()f )(xghg)(h()fx, 自然可以看成有理数域上的多项式，这表明 在有理数域上是可约的。反)(xg)(h ()fx过来，如果 在有理数域上是可约的，那么 在整数环上也一定可约。fx ()fx判别一个整系数多项式是否不可约，是一件极其困难和复杂的事情。下面的结果，给出了多项式为不可约的一个充分条件，用处相当广泛。定理 1.3.1 (艾森斯坦判别法)设 是一个整系数多项110().nnfxaxax式，其中 。如果存在一个素数 ，使得 ， ，1npnp不 能 被 整 除 |(,2.,1)i n但 ，在 上不可约(从而在 上也不可约)。20ap不 能 被 整 除 ZQ设有两个(非常数)整系数多项式： 110().kkgxbxbx及 110().iihxcxcx使 。因 被 整除，但不被 整除，故 与 中恰