13. 常见的数学建模方法(8) - 随机微分方程法,实例: 股票价格模型,1. 股票价格的随机变化过程,股票价格的马尔科夫性质,在实际经济生活中, 投资者都非常密切地注视着股票市场的变化, 总想试图通过各种各样的分析, 从股票市场的变化中寻找有用的信息而从中获利.,但事实上, 这是不可能的 !,因为 假定 根据过去一段时间内某种股票价格变化的情况, 可以判断出 在未来的一段时间内, 例如在一个月后，这种股票将从现在价格每股10元上涨到每股15元左右.,由于一个成熟的市场上, 所有的信息在市场上都能有效地 ( 均匀、同时地 ) 传播, 这种股票价格变动的特征立即会被众多的投资者发现, 投资者第二天开市就会马上买入这种股票, 对这种股票的需求也会立即增加,从而导致这种股票的价格当即上扬, 变成了每股20元， 结果这种所谓已被 “察觉” 的一个月后必然获利机会瞬间就会消失 .,这说明上面的 “根据股票价格的历史发展情况可以推断出股票价格的今后发展情况” 的 假定 是不成立的.,股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the weak form of market efficiency).,弱市场有效性 主要是有两点内涵:,其一, 现在的价格是过去所有信息的完全反映, 没有任何信息的作用会持续到以后 ;,其二, 对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出反映.,从数学上来说, 这是一种称之为马尔科夫随机过程 所具有的性质.,马尔科夫过程 (Markov process) 是一种特殊类型的随机过程. 这个过程表明只有变量的当前值与未来的预测有关, 而变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不相关. 或者说, 随机变量过去的取值与今后的取值是相互独立的.,因此 ,在建立股票价格的数学模型时,通常的假设是: 股票价格遵循马尔科夫过程 . 在以下提及的一个的实例中，我们可以看到，这样的假设能经受实践的检验。,(2) 维纳 ( Wiener) 过程,i) 基本维纳过程,在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它被称为 基本维纳过程 (wiener processes) .物理学中最早用它来描 绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为 布朗运动 (Brownian motion) .,如果变量 z 遵循 基本维纳过程 , 则 z 必须满足两个基本性质:,其中是服从标准正态分布的一个随机变量 .,当 t 0 时, 方程 (*) 可以写为 :,.,(b) 对于任何两个不同时间间隔 t , z 的值是相互独立的.,从性质 (a) , 我们推得 z 本身具有正态分布, 其中 :,z的均值 =,z的方差 =,z的标准差 =,.,性质 (b) 则隐含 z 遵循 马尔科夫过程 .,下面我们考虑在一段相当长的时间 T 中 z 值的变化量, 我们将它表示为: z ( T ) z ( 0 ) .,这可以被看作是在 N 个长度为 t 的小时间间隔中 z 的变化总量. 这里 N = T /t .,因此 , z ( T ) z ( 0 ) =,其中 i 服从标准正态分布, 且是相互独立的.,由此可得 z ( T ) z ( 0 ) 是正态分布的, 且 :,z(T) z(0) 的均值 =,z(T) z(0) 的方差 =,= N t = T ,因此, , 遵循维纳过程的随机变量 , 在任意长度为 T 的时间间隔内的变化量服从于均值为 0、标准差为,的正态分布 .,当 t 0时, 体现维纳过程性质 (a) 的方程 (*) 可以写为 :,.,对于维纳过程而言, 我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该变量在该时刻的 “平均漂移”, 而称在单位时间处的平均漂移为该维纳过程的漂移率 ; 同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该维纳过程的方差率. 上面讨论到的维纳过程, 其漂移率应是 0 , 方差率应是 1 . 这里 , 漂移率为 0 , 意味着在未来任何时刻 , z 的期望值等于它的当前值 ; 方差率为 1 , 意味着在长度为 T 的一段时间段后, z 的变化的方差为 1T = T .,漂移率为 0、方差率为 1 的维纳过程,我们常称之为 基本维纳过 程 .生成 基本维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为：,ii) 一般化维纳过程 ( generalized wiener process )在基本维纳过程的基础上, 还可以定义一个广义类型的维纳过程.,dx = a dt + b dz ( # ),设随机变量 x 满足以下等式 :,其中 a 和 b 为常数 , 变量 z 遵循基本维纳过程 , 则称变量 x 遵循一般化维纳过程.,从一般化维纳过程的定义式 ( # ) 可以看出, adt 项表明 x 是时间 t的线性函数, 而 bdz 项可被看作是添加到 x 的变动轨迹上的噪声或波动. 换言之 , 一个线性变化过程与一个基本维纳 ( 随机 ) 过程的叠加结果便是一个一般化维纳 ( 随机 ) 过程.,生成 一般化维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为 ：,随机微分方程 ( # ) 也可改写为:,容易看出, x 的均值 = at , x 的方差 = b2t , x 的标准差 =,类似 i) 中的讨论可得 : x (T) x (0) 的均值 = aT , x (T) x (0) 的方差 = b2 T , x (T) x (0) 的标准差 =,由此可以说 , 遵循一般化维纳过程的随机变量 x , 在任意长度为 T 的时间间隔内的变化量 x (T) x (0) 服从于均值为 aT , 方差为 b2 T 的正态分布 . ( 当a = 0 、b = 1时, 这个一般化维纳过程 即成为 基本维纳过程 ),iii) ITO 过程,还可以考虑另一种类型更为复杂的马尔科夫随机过程 , 即著名的 ITO过程 ( ITO process ). 如果变量 x = x(t) 服从 ITO过程 , 则它的数学定义式为如下的随机微分方程:,dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 其中参数 a 和 b 均是标的变量 x 和时间 t 的函数 .,(3) 股票价格的随机模型,在对任何资产（例如股票）进行投资时，投资者所关心的是对资产投资的回报率多大，而不是该资产的绝对增加量多大。例如，有两种股票 A 与 B , 假定它们每年每股都平均增加10元，股票 A 的市价为 100元/ 股，股票 B 的市价为 1000元/ 股。 显然，股票 A 是投资者的最佳选择，因为它的回报率为 10 % ， 而股票B的回报率只有 1 % 。,这个日投资回报率将遵循什么样的随机变化过程？我们来看一个实例。在图 1 中显示了阿根廷联合大企业股票 Perez Companc 从1995 年 2 月到 1996 年 11月 的价格走向趋势。图 2 显示了该股票在这一段时间中的日回报率随时间变化情况。图 3 显示了该股票日回报率具体计算过程。图 4 显示了日回报率经过标准化处理后的量的频率分布图，其中的函数曲线是标准正态分布密度函数。 标准化处理后的量是指：,）,在进行股票投资时，如果记 Si 是第 i 天的股票价格，则投资的日回报率为：,根据与标准正态分布密度函数图像的对照，可以说统计数字反映出日回报率近似于正态分布，故我们可以假定：回报率是一个服从于正态分布的随机变量。也就是说：Ri = 均值 + 标准差 , 其中 是一个标准正态分布变量 .,如果时间步长不是以天计算，而是为 t ，则回报率的均值应该与时间步长的大小相关，时间间隔越大，资产偏移平均而言也会越大，我们可以假定： 均值 = t , 其中是一个常数。,在一个较长的时间段 T 上，根据数理统计学理论，回报率的样本 标准差为：,这里 M = T /t ,为各时间点上的样本值，,为样本的算术平均值.,为了当 t 趋于零时，这个标准差成为有限值，上面表示式中和 式的每一项从无穷小量纲级别上讲，必须是 O (t) , 而由于每一 项是回报率的平方，所以在小时段 t上，资产回报率的标准差应 该是 O ( ),即可以表示为：,标准差 =,， 其中 是一个常数。,这样就有：,，,也就是：,或者说，在连续意义下有：,这表明股票价格 S = S( t ) 遵循 ITO过程 : dS =S dt +S dz , 其中和均为常数, dz 遵循 ( 基本 ) 维纳过程 . 这是一个特殊的 ITO 过程，随机变量服从这样的 ITO 过程 ，也被称为该随机变量服从 “几何布朗运动 ” .,2. 随机微积分中的 ITO 引理,(1) ITO 引理的内容及其推导,任何一种衍生证券的价格都是这些衍生证券标的资产这个随机变量和时间的函数. 如果标的资产随机变量服从 Ito 过程, 则它的函数应服从什么样的随机过程? 这方面的重要理论结果是一个日本数学家Ito 在 1952 年所发现 , 称为 Ito 引理 .,ITO引理 假设变量 x = x ( t ) 遵循 ITO 过程 : dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 则函数G (x , t) 遵循如下的 ITO 过程 :,说明: （1）在普通微积分中, 对于二元函数 G (x , t) 的微分 dG 应有,将 dx = a dt + bdz 代入应得,但 Ito 引理指出, 在随机微积分中 ,不是这个结论 , 右端应多一项:,.,（2）Ito 引理还指出，以变量的随机过程作为基础的 维纳过程 恰好与以变量的函数的随机过程作为基础的维纳过程完全相同，两者都受同样的不确定性因素的影响。这在金融衍生产品的定价过程中具有非常重要的意义。,证明: 根据二元函数的泰勒展开式 , 有:,因为,故,所以,这里 ,有性质:,它的方差,因此,具有非随机特征性质, 并且当 t 趋向于零时,可以用它的期望值,替代 .,它的期望,于是当 t 趋向于零时, 就有:,(2) 股票价格的对数正态分布特性,利用 ITO 引理 立即可推导出股票价格的对数值所应遵循的随机过程为:,从而,这是因为如考虑 S 的函数 G ( S, t ) = lnS , 这里，股票价格 S 遵循几何布朗运动 ( ITO过程 ): dS =S dt +S dz , 其中和均为常数 , dz 遵循(基本)维纳过程. 根据 ITO 引理 , 由于,所以,这个方程表明 , G ( S, t ) = lnS 遵循一个一般化维纳过程 , 它的漂移率为,方差率为,根据上面对于一般化维纳过程的探讨可知 , 在当前时刻 t 和将来某一时刻 T 之间 G ( S, t ) = lnS 的变化量 lnST - lnS 是正态分布的 , 它 的均值为:,方差为:,因此,也就是:,.换言之, 股票价格服从于对数正态分布 .,例. 某一种股票, 初始价格为 40 元, 预期收益率为每年 16 %, 波动率 为每年 20 % .问: （1） 六个月后, 股票价格在什么范围内变动 (95 %的可能性 ) ? （2） 投资股票效益高于现金存入银行效益的可能性有多大？ （假定银行半年期的储蓄利率为0.02）,