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椭圆及其标准方程,高二二部 数学,思考1: 取一条细绳,把它的两端固定在板上的两点,用笔尖把细绳拉紧,慢慢移动笔尖画出的轨迹是_,一、椭圆的定义,椭圆,椭圆的定义: 平面内与两个定点F1,F2的距离的和为常数(大于|F1 F2|)的点轨迹叫做椭圆,其中:两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,动画演示,思考2:画出的曲线有何特点?_,笔尖(动点)到定点距离和是常数,移动笔尖满足的几何条件?_,笔尖到两定点距离和大于两点的距离,绳长大于两定点之间的距离时笔尖轨迹是椭圆。若绳长等于两定点之间的距离,笔尖轨迹又会如何?若绳长小于两点之间的距离时,笔尖轨迹呢?,绳长等于两定点之间的距离,绳长小于两定点之间的距离,1.当绳长大于两点间距离时轨迹,为椭圆,2.当绳长等于两点间距离时轨迹,为线段,3.当绳长小于两点间距离时,无轨迹,结论:,练习1 判断下列动点M的轨迹是否为椭圆1. 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹2. 到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹3. 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹,是,不是,没有轨迹,小结:椭圆必须满足的几个条件,1.动点 M 到两个定点 F1、F2的距离之和是常数。2.常数要大于焦距。,4, 探讨建立平面直角坐标系的方案,原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单;,(对称、“简洁”),(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.),设M(x,y)为椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c.则F1(-c,0),F2(c,0)。M与F1和F2的距离和为2a。求点M的曲线方程。,以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2 的垂直平分线为y轴。,|M F1|+|MF2|=2a,M应满足什么条件:,移项平方,所以(*)式两端同除以a2(a2- c2),M,F1,F2,P,c,a,在此图中你能否找到表示a,c, 的线段吗?,椭圆的标准方程为,椭圆的方程为:,你能类比焦点在x轴上的椭圆标准方程的建立过程,建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程吗?,焦点在x轴椭圆的方程为:,Y,椭圆的标准方程的特点:,1)椭圆标准方程的形式:左是两个分式的平方和右边是1。,2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上。,3)a椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;,c半焦距.,求椭圆标准方程的步骤,1.根据焦点所在轴,选择标准方程的形式。 焦点在x轴则选择 焦点在y轴则选择2利用题中的条件确定a,b的值。,(2)两焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2) 并且椭圆经过点 。,(1) 两焦点的坐标是(-4,0),(4,0)椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10。,例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程,(1) 两焦点的坐标是(-4,0),(4,0)椭圆上 一点P到两焦点的距离之和等于10。,解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设标准方程为,所以标准方程为,(2)两焦点的坐标分别是0,-2),(0,2) 并且椭圆经过点 。,解:由椭圆的焦点在y轴上,所以设标准方程为,由椭圆的定义知,,所以标准方程为,解:分两类:当椭圆的焦点在X轴上时,设它的方程为:,当椭圆的焦点在y轴上时,设它的方程为:,例3:,拓展提高:,a,b,c,a,b,c,焦点在x轴上,焦点在y轴上,小结,
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