- 1 -2014 高考数学模块跟踪训练：数列 1一、选择题(8540 分)1已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2( an1)，则 a2等于 ()A4B2 C1D2答案：A解析：当 n1 时， a12( a11)， a12；当 n2 时， a1 a22 a22， a2 a124.2已知数列 an对任意的 p， qN *满足 ap q ap aq，且 a26，那么 a10等于()A165 B33C30 D21答案：C解析：方法一：赋值法：令 q2，则 ap2 ap a2， a26，故数列 an的所有偶数项、所有奇数项分别成等差数列 a10 a24(6)30，故选 C.方法二： a10 a82 a8 a2 a62 a2 a62 a25 a230.3数列 ， ， ， ， 中，有序实数对( a， b)可以是 ()53 108 17a b a b24A(21，5) B(16，1)C( ， ) D( ， )412 112 412 112答案：D解析：由数列中的项可观察规律，5310817( a b)( a b)242，Error!解得 a ， b ，故选 D.412 1124)已知数列 1，则 是此数列中的122113223114233241 56()A第 48 项 B第 49 项C第 50 项 D第 51 项答案：C解析：将数列分为第 1 组 1 个，第 2 组 2 个，第 n 组 n 个，( )，( ， )，( ， )，11 12 21 1322 31，( ， ， )，则第 n 组中每个数分子分母的和为 n1，则 为第 10 组中的第 5 个，1n 2n 1 n1 56其项数为(1239)550.5已知 an (nN *)，则在数列 an的前 50 项中最小项和最大项分别是n 2007n 2008()A a1， a50 B a1， a44C a45， a50 D a44， a45答案：D解析： an 1 ，n 2007n 2008 n 2008 2008 2007n 2008 2008 2007n 2008 为一定值，要使 an最大，则需 n 最小且 n 0，则2008 2007 2008 2008n45；同理当 n 0，可采用两边取对数的方法求解解析：(1)由 an1 an2 n，把 n1,2,3， n1( n2)代入，得( n1)个式子，累加即可得( a2 a1)( a3 a2)( an an1 )22 22 32 n1 ，所以 an a1，即 an a12 n2，所以 an2 n2 a12 n1.2(1 2n 1)1 2当 n1 时， a11 也符合，所以 an2 n1( nN *)(2)由递推关系 an1 an， a14，有 ，n 2n an 1an n 2n于是有 3， ， ， ，a2a1 a3a2 42 a4a3 53 an 1an 2 nn 2 ，将这( n1)个式子累乘，得 .anan 1 n 1n 1 ana1 n(n 1)2所以当 n2 时，- 4 -an a12 n(n1)当 n1 时，n(n 1)2a14 符合上式，所以 an2 n(n1)( nN *)(3)由 an1 2 an1 得 an1 12( an1)，令 bn an1，则 bn是以 2 为公比的等比数列所以 bn b12n1 ( a11)2 n1 2 n，所以 an bn12 n1( nN *)(4)由已知， an0，在递推关系式两边取对数，有 lgan1 2lg anlg3.令 bnlg an，则 bn1 2 bnlg3.所以 bn1 lg32( bnlg3)，所以 bnlg3是以 b1lg3 为首项，以 2 为公比的等比数列所以 bnlg32 n1 2lg32 nlg3.所以 bn2 nlg3lg3(2 n1)lg3lg an.所以 an32 n1.14(2009北京海淀)已知数列 an前 n 项的和为 Sn，且满足Sn1 nan(n1,2,3，)(1)求 a1， a2的值；(2)求 an.解析：(1)当 n1 时， S1 a11 a1， a1 .12当 n2 时， a1 a212 a2， a2 .16(2) Sn1 nan，当 n2 时，Sn1 1( n1) an1 ，an Sn Sn1 ( n1) an1 nan. an an1 ，n 1n 1an a1 .2n(n 1) 1n(n 1)当 n1 时， a1 符合上式12 an (n1,2,3)1n(n 1)15已知数列 an，其前 n 项和为 Sn n2 n(nN *)12 12(1)求 an的通项公式；(2)记 T ，求 T 的值1S1 1S2 1S3 1S99解析：(1)当 n1 时， a1 S11当 n2 时， an Sn Sn1 n.显然，当 n1 时， an n 也成立故 an的通项公式为： an n(nN *)(2) 2( )1Sn 2n(n 1) 1n 1n 1 2(1 )2( )2( )2( )2(1 ) .1S1 1S2 1S99 12 12 13 13 14 199 1100 1100 995016设数列 an的前 n 项的和 Sn an 2n1 ， n1,2,3，.求首项 a1与通项公43 13 23式 an.分析：主要考查求递推数列有关通项问题，考查转化与化归思想、构造思想，由特殊到一般的思想方法- 5 -通过构造，转化成等差、等比数列进行求解，或者利用裂项相消方法求解解析：由 Sn an 2n1 ， n1,2,3，43 13 23得： a1 S1 a1 4 ，所以 a12.43 13 23再由有 Sn1 an1 2n ， n2,3，43 13 23得： an Sn Sn1 (an an1 ) (2n1 2 n)， n2,3，43 13整理得： an4 an1 2 n， n2,3，方法一：构造新数列构造新的等比数列：an2 n4( an1 2 n1 )， n2,3,4，(或： 12( 1)an2n an 12n 1所以 an2 n44 n1 (或： 122 n1 )得： an4 n2 n， n1,2，an2n方法二：直接递推法当 n1 时， S1 a1 22 ， a1243 13 23an4 an1 2 n4(4 an2 2 n1 )2 n4 2an2 2 n1 2 n4 n1 a12 2n2 2 2n3 2 n1 2 n2 2n1 2 2n2 2 2n3 2 n1 2 n4 n2 n.方法三：错位相消法推出： ( )n， ( )n1 ， ( )2an4n an 14n 1 12 an 14n 1 an 24n 2 12 a242 a141 12所以： ( )n( )n1 ( )2an4n a141 12 12 12( )n( )n1 ( )2 1an4n 12 12 12 12 12n所以 an4 n2 n.方法四：特征根方程法2 即 an1 6 an8 an1 0an 1 4anan 4an 1特征方程为： x26 x80 特征根为：x14， x22通解： an C14n C22n，由： a12， a212，代入解得： C11， C21.总结评述：递推数列问题一直作为高考考试的压轴题出现，基本类型有：an1 pan q(p0 或 1， q0)和 an1 pan f(n)(p0 或 1)两种形式，通常是解决如何求通项 an和前 n 项和 Sn等问题解题方向是设法转化成等差数列、等比数列或可进行求通项或前 n 项和的数列来解决常见方法有：构造法，直接递推法，错位相消法，特征根方程法和不动点法有些问题还可以用归纳、猜想、证明即数学归纳法加以解决，难度一般较大，是考查抽象思维能力的好素材