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6.5 空间几何体及投影一、知识导学1. 了解投影(投影线通过物体,向选定的面透射,并在该面上得到图形的方法)、中心投影(投射线交于一点的投影称为中心投影)、平行投影(投影线互相平行的投影称为平行投影)、斜投影(平行投影投射方向不是正对着投影面的投影)、正投影(平行投影投射方向正对着投影面的投影)的概念.2. 了解三视图的有关概念(视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图,自上而下的称为俯视图,自左向右的称为左视图,用这三种视图刻画空间物体的结构,称之为三视图);了解三视图画法规则,能作出物体的三视图.3. 注意投影和射影的关系,以及在解题中的作用.二、疑难知识导析1三视图间基本投影关系的三条规律:主视图与俯视图长对正,主视图与左视图高平齐,俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正,高平齐,宽相等”;看不见的画虚线.2主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右;俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右;左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.三、经典例题导讲例 1如图,该物体的俯视图是().错解:B.错因:投影方向不对.正解:C.例 2 如图所示的正方体中,E、F 分别是 AA1,D1C1的中点,G 是正方形 BDB1D1的中心,则空间四边形 AGEF 在该正方体面上的投影不可能是( ) A B C D A1 B1 C1 D1 E FG A B C D错解:C.正解:D例 3水平放置的ABC 有一边在水平线上,它的直观图是正A 1B1C1,则ABC 是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 任意三角形错解:B.错因:不熟悉斜二侧画法的规则.正解:C.例 4 正方体的全面积是 a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( ).A. 2a3B. C. 2aD. 23a错解:A.错因:对正方体和球的关系理解不清.正解:B.正方体的对角线就是球的直径.例 5(06 年江西卷)如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC 的表面积分别是S1,S 2,则必有( )A.S1S2 B.S1S2 C.S1=S2D.S1,S 2的大小关系不能确定解:连 OA、OB、OC、OD则 VABEFD V OABD V OABE V OBEFDVAEFC V OADC V OAEC V OEFC 又 VABEFD V AEFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故 SABDS ABES BEFDS ADCS AECS EFC 又面 AEF 公共,故选 C例 6正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面成 45角,求侧棱与底面所成角的正切值. 解:解法一如图,设 O1,O 为上下底面正三角形的中心,连接 O1O,A 1O1交 A1B1于 D1,AO 交 AB 于 D.连接 D1D.易证A1O1B 1C1,ADBC,D 1DBC,过 A1,D 1分别作 A1E底面ABC,D 1F底面 ABC,易证 E、F 在 AD 上.因为正三棱台 A1B1C1-ABC 的侧面与底面成 45的二面角,所以D 1DA=45.因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为 a,b,则 AD= b,A1D1= a.2323DBAOCEF所以 A 1E=O1O=D1F=FD= b- = 23a23163(b-a).AE= (b-a).32323ab所以 tanA 1AE= .211AE解法二如图,延长 AA1,BB 1,CC 1,则 AA1,BB 1,CC 1相交于一点 S.显然点 S 在 DD1的延长线上.由解法一得知,SDA 为二面角 S-BC-A 的平面角,故SDA=45.所以 在 RtSOD 中,SO=OD,因为 AO=2OD,所以 tanSAO= .21AODS点评:由此例可以看出,在解决棱台的问题时,“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.例 7 粉碎机的下料斗是正四棱台形,如图所示,它的两底面边长分别是 80 mm 和 440 mm,高是 200 mm,计算:(1)这个下料斗的体积;(2)制造这样一个下料斗所需铁板的面积(保留两个有效数字)?分析:要求下料斗所需铁板的面积,就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是 S 侧 (cc)h.21解:(1)因为 S 上 440 2mm2,S 下 80 2 mm2,h200 mm7V(S)34701.603上上 238上上m(2)下底面周长 c480320mm,下底面周长 c44401760mm,斜高 h2029上8上S 正棱台侧 1(cc)h1(1760320)2692.810 5(mm 2)答:这个下料斗的体积约为 1.6107mm3,制造这样一个下料斗需铁板约 2.8105mm2.点评:对于实际问题,须分清是求几何体的表面积,还是求侧面积,还是求侧面积与一个底面面积的和,还是求体积.四、典型习题导练1一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为()A长方形、圆、矩形 B矩形、长方形、圆C圆、长方形、矩形 D长方形、矩形、圆2直角三角形绕它最长边(即斜边)旋转一周得到的几何体为()3.下列平面图中不能围成立方体的是().4从七边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把七边形分成_个三角形5. 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49cm2 和 400cm2,求球的表面积.
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