1电磁场与电磁波第三章静电场边值问题电磁场与电磁波第三章静电场边值问题武汉科技大学 信息科学与工程学院2本章要点 电位微分方程 镜像法 分离变量法3电位微分方程电位微分方程的提出：0= EK=EK=2EK02=泊松方程4电位微分方程02=拉普拉斯方程在电荷密度为0的无源空间，有：静电场的边值问题，可以归结为在给定边值条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。静电场的边值问题，可以归静电场的边值问题，可以归结为在给定边值条件下，求结为在给定边值条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。解泊松方程或拉普拉斯方程。5电位微分方程边值问题的分类：第一类边值问题（狄里赫利问题）：给定未知函数在边界上的函数值。例如：静电场中已知各导体表面的电位, 求解空间的电位问题。第二类边值问题（诺伊曼问题）：给定未知函数在边界上的法向导数值。如静电场中已知导体表面的面电荷密度分布，求解空间的电位问题。6电位微分方程第三类边值问题（混合问题）：在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值。7电位微分方程例3.1 两块无限大的接地导体平面分别置于x=0和 x=a处，其间在 x=x0处有一面密度为0(C/m2)的无限大均匀电荷分布，求两导体板之间的电位。xyx00a0)(1x )(2xen8电位微分方程解：除 x=x0处，空间其它地方都没有电荷，电位满足一维拉普拉斯方程，根据导体平面及 x=x0处的边界条件，可以求出电位分布。)0(0)(0212xxdxxd0 时，当 z=0时， =0；当 z、| x|、| y|时， 0。02= =+rqrq041选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求出导体上方无源区任一点的电位：XY平面Z轴15镜像法2/12222/1222)()(hzyxrhzyxr+=+=+其中：+=+3303303304114114rhzrhzqzErrqyErrqxEzyx由 得电场的各分量：=EKXY平面Z轴16镜像法由 Dn=S可得导体表面（ z=0）的感应面电荷密度：2/32220)(2 hyxqhEzS+=令2=x2+y2，则导体表面总的感应电荷：)()(20222/322020CqhqhhddqhdsqSsi=+=+=17镜像法分析：当点电荷位于无限大的导体平面时，由于静电感应，导体表面将产生等量的异性的感应电荷，使用镜像法时，可以用一个异性的镜像电荷代替导体表面的感应电荷。电场线处处垂直于导体的平面，零电位面与导体表面重合。18例3.3 设有两块接地半无限大导体平板相交成角，角满足n=180 /，n 为正整数，即n=1、 2、 3，交角内置一点电荷(或一线电荷)。镜像法解：轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像, 直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。但是只有当n为整数时，最后的镜像才能和原电荷重合，镜像电荷的总数应是 N=2n-1个。19镜像法q-q-qq因为导体板无限大，所以导体板电位为0，构造图示的镜像电荷，保证边界上的电位永远为0。qab20镜像法+=4321011114 rrrrq由叠加法求出空间一点的电位为：2/122242/122232/122222/12221)()()()()()()()(zbyaxrzbyaxrzbyaxrzbyaxr+=+=+=+=21镜像法思考：如图导体板的镜像电荷如何构建？思考：如图导体板的镜像电荷如何构建？q45。22镜像法第二类 点电荷与导体球例 3.4 一个半径为 a的接地导体球，一点电荷 q位于距球心 d处。23镜像法解：试用一个镜像电荷 q等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷 q应置于球心与电荷 q的连线上。q qbd24镜像法球外任一点的电位是电荷 q与镜像电荷 q产生电位的叠加：201044 rqrq +=因为球面接地，所以球面上一点有：044200100=+rqrqr10、 r20分别是从 q、 q到球面上点 P0的距离。25镜像法取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到确定未知量q、b 的两个方程：=+=+00baqadqbaqadqq qbdAB=dabqdaq226镜像法其它情况：如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。使用两个等效电荷：一个是 q，其位置和大小由前面的例题确定；另一个是q” ， q”=-q， q”位于球心。如果导体球不接地，且带电荷 Q，则 q位置和大小同上， q”的位置也在原点，但 q”=Q-q。于是空间总电位可由 q与 q叠加求出。27第三类 线电荷与带电的导体圆柱例3.5 设半径为 a的无限长导体圆柱外，有一根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度为l，与圆柱轴线距离为 d1，横截面如图。ld1a镜像法28镜像法求解方法和第二类镜像法类似：第一步 构造镜像电荷；第二步 求出空间中电位的表达式第三步 列出满足导体表面电位为0的边界条件的方程（组），求解出设定的未知量。第四步 将求出的未知量代入电位的表达式，得到可用的电位表达式。29镜像法第四类 点电荷与无限大的介质平面例3.6 两种介电常数分别为1、2的介质充填于 z0的空间，在介质1中点 (d,0,0)处有一点电荷 q。1230镜像法解：分界面上将产生束缚电荷。计算介质 1中的电位时，可将界面上的束缚电荷用镜像电荷 q来等效，空间介电常数都为1。12- - - - - -11qq31镜像法计算介质 2中的电位时，可将界面上的束缚电荷与源点电荷用镜像电荷 q”来等效，空间介电常数都为2。12- - - - - -22q”32镜像法在介质1中产生的电位为：)(412111rqrq+=在介质2中产生的电位为：3224rq =其中， r1、 r2和 r3为三个电荷到场点的距离。33镜像法根据电位的边界条件：nn =22112111qqen22q”en34镜像法在介质边界上一点，代入电位的表达式，得：rqrqrq214)(41=+cos4cos)(41222rqrqrq=解得：qq2121+=qq2122+=35直角坐标系的分离变量法如果泊松方程或拉普拉斯方程中有两个或两个以上的自变量，在数学上就形成了偏微分方程的求解问题。一种方法是把各个自变量分开后单独求解，然后再组合成总的解，这就是分离变量法。在数学上通过把偏微分方程转换为常微分方程求解来实现。36直角坐标系的分离变量法在直角坐标系中，拉普拉斯方程为：0222222=+zyx 可以表示为三个函数的乘积：)()()(),( zZyYxXzyx =0222222=+dzZdXYdyYdXZdxXdYZ可将拉普拉斯方程改写为：37直角坐标系的分离变量法然后用 XYZ除上式，得：0=+ZZYYXX上方程中的每项只与一个变量相关，所以各项都是一个常数。令：2221xkdxXdX=2221ykdyYdY=2221zkdzZdZ=0222=+zyxkkk38直角坐标系的分离变量法写成如下的形式：000222222222=+=+=+ZkdzZdYkdyYdXkdxXdzyx39直角坐标系的分离变量法以第一个方程为例求解集：当 kx2=0时，解为：式中 A0，A0为待定积分常数。xBAxX00)( +=xjkxjkxxBeAexX +=)(xkDxkCxXxxsincos)( +=当 kx20时， kx为实数，解为：40直角坐标系的分离变量法DshaxCchaxxXBeAexXaxax+=+=)()(当 kx20时，令 kx=-j， 解为：41本章小结理解理解空间中的电位方程：泊松方程与拉普拉斯空间中的电位方程：泊松方程与拉普拉斯方程；方程；掌握掌握空间中单变量的泊松方程或拉普拉空间中单变量的泊松方程或拉普拉斯方程的求解方法。斯方程的求解方法。理解理解镜像法的基本原理；镜像法的基本原理；掌握掌握几种典型镜像电几种典型镜像电荷的构建方法和对应的空间电位计算方法。荷的构建方法和对应的空间电位计算方法。理解理解直角坐标系的分离变量法的基本思路。直角坐标系的分离变量法的基本思路。42第三章习题 31943The End of Chapter 03