从傅里叶变换到小波分析,.傅立叶变换 傅立叶变换主要处理一些非突变信号，将一段信号的主要低频能量都集中在频率信号的前面几项，这种能量集中性有利于进一步的信号的处理，如信号压缩、去噪与提纯。,从傅里叶变换到小波分析,傅里叶变换缺点1.不能刻画时域信号的局部特性；2.对非平稳信号的处理效果不好。,从傅里叶变换到小波分析,小波分析小波是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，是强有力的时频分析与处理工具。已成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模式识别等。小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系数来刻画,(1.1),一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的函数f(t)。因为信号是能量有限的，即,从傅里叶变换到小波分析,(1.2),(1.3),对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表示，才能得到我们需要的函数表示。 如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经傅立叶变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。 在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和小波,从傅里叶变换到小波分析,1、Daubechies小波,从傅里叶变换到小波分析,歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。,从傅里叶变换到小波分析,小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。,从傅里叶变换到小波分析,二、小波变换的定义及特点,定义1 1函数(t)L2(R) 称为基本小波，如果它满足以下的“允许”条件：,(2.1),小波分析优点1.在时域和频域同时具有良好的局部化性质。2. 采用多分辨分析，从而可以聚焦到对象的任 何细节，所以被称为“数学显微镜”。3.小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领域。,从傅里叶变换到小波分析,小波的应用主要是信号的处理，其中最典型的应用是小波图象压缩小波的各种应用均可分为以下三步：1）对原始信号作小波变换，将信号由空域变换到频域；2）对小波系数做相应处理；3）对处理后的小波系数做小波逆变换，还原原信号。,从傅里叶变换到小波分析,